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离散时间 H2 范数

离散时间系统对离散时间信号输入进行操作，并产生离散时间信号输出。它们用于数字信号处理，例如图像或声音的数字滤波器。离散时间系统中既是线性的又是时不变的类别被称为离散时间 LTI 系统。

离散时间 LTI 系统的 H2 范数可以通过求解 LMI 来找到。

系统

具有状态空间实现的离散时间 LTI 系统 $(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d})$
${\begin{aligned}&A_{d}\in {\bf {{R^{n*n}},}}&B_{d}\in {\bf {{R^{n*m}},}}&C_{d}\in {\bf {{R^{p*n}},}}&D_{d}\in {\bf {{R^{p*m}}\;}}\\\end{aligned}}$

数据

矩阵：系统 $(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d}),P,Z$.

优化问题

以下可行性问题应优化

$\mu$ 在满足 LMI 约束的情况下，将被最小化。

LMI

离散时间有界实部引理

LMI 公式

H2 范数 < $\mu$

${\begin{aligned}P\in {S^{n}};Z\in {S^{p}};\mu \in {R_{>0}}\;\\&P>0,&Z>0\\{\begin{bmatrix}P&A_{d}P&B_{d}\\*&P&0\\*&*&I\end{bmatrix}}&>0,\\{\begin{bmatrix}Z&C_{d}P\\*&P\end{bmatrix}}&>0,\\trZ<\mu ^{2}\end{aligned}}$

结论

H2 范数是满足 LMI 条件的最小值 $\mu \in {R_{>0}}$。

实现

指向 CodeOcean 或其他 LMI 在线实现的链接
MATLAB 代码

相关 LMI

[1] - 连续时间 H2 范数。

外部链接

记录和验证 LMI 的参考文献列表。

• 控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 关于 LMI 的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 编写的 LMI 列表。
• 系统和控制理论中的 LMI - Stephen Boyd 编写的关于 LMI 的可下载书籍。
• [2] - MATLAB 中的 H2 范数函数。