控制中的LMI/pages/系统H2范数的LMI

${H_{2}}$-norm of System

该 ${H_{2}}$-norm 在概念上与矩阵上的 Frobenius（也称为欧几里得）范数相同。它可以用来确定系统表示是否可以简化为最简单的形式，从而允许它用于执行有效的方框图代数。

系统

假设我们定义状态空间系统$G:{L_{2}}\rightarrow {L_{2}}{\text{ by }}y=Gu$ 如果

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\\\end{aligned}}$

其中 $A\in \mathbb {R} ^{mxm}$, $B\in \mathbb {R} ^{mxn}$, $C\in \mathbb {R} ^{pxm}$, 和 $D\in \mathbb {R} ^{qxn}$ 对于任何 $t\in \mathbb {R}$。那么该 ${H_{2}}$-norm 可以像下面描述的那样确定。

数据

为了确定该 ${H_{2}}$-norm，我们需要矩阵 ${A}$, ${B}$, 和 ${C}$.

优化问题

假设我们想要推断系统行为的特性（以 **(A,B,C,D)** 的形式表示）。那么，必须确保整个系统构成一个代数，否则标准的块图代数将失效。唯一可行的方法是计算 ${H_{2}}$ 和/或 ${H_{\infty }}$ 范数 - 这两种范数都是信号范数，在某种意义上衡量了传递函数的大小。

LMI： $H_{2}$ 范数

假设 ${\hat {P}}(s)=C(sI-A)^{-1}B$，这意味着以下关系是等价的：

$1)\quad A{\text{ is Hurwitz and }}||{\hat {P}}||_{H_{2}}^{2}<\gamma$

$2){\begin{aligned}{\begin{cases}trace(CXC^{T})&<\gamma \\AX+XA^{T}+BB^{T}&<0\\X&>0\end{cases}}\end{aligned}}$

结论

LMI 可以用来最小化系统的 ${H_{2}}$ 范数。值得注意的是，有限的 ${H_{2}}$ 范数不能保证有限的 ${H_{\infty }}$ 范数，为了使块图代数有效， ${H_{\infty }}$ 范数必须是有限的。

实现

• 示例代码 - 一个 GitHub 链接，包含代码（名为 "H2Norm.m"）演示了如何使用 MATLAB-YALMIP 实现此 LMI。

相关 LMI

• $H_{2}$-滤波 - $H_{2}$-滤波的LMI
• 离散时间$H_{2}$ 范数 - $H_{2}$-范数在离散时间情况下的LMI。

外部链接

列出了一些记录和验证LMI的参考。

• 最优与鲁棒控制中的LMI方法 - Matthew Peet关于控制中的LMIs的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的LMI特性及其应用 - Ryan Caverly和James Forbes编写的LMI清单。
• 系统与控制理论中的LMI - Stephen Boyd撰写的一本关于LMIs的下载书籍。