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离散时间有界实引理

离散时间系统对离散时间信号输入进行操作并产生离散时间信号输出。它们用于数字信号处理，例如图像或声音的数字滤波器。一类既是线性的又是时不变的离散时间系统，称为离散时间LTI系统。

离散时间有界实引理或H∞范数可以通过求解LMI来找到。

系统

具有状态空间实现的离散时间LTI系统$(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d})$
${\begin{aligned}&A_{d}\in {\bf {{R^{n*n}},}}&B_{d}\in {\bf {{R^{n*m}},}}&C_{d}\in {\bf {{R^{p*n}},}}&D_{d}\in {\bf {{R^{p*m}}\;}}\\\end{aligned}}$

数据

矩阵：系统$(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d}),P$.

优化问题

以下可行性问题应进行优化

$\gamma$ 在满足LMI约束的情况下被最小化。

LMI

离散时间有界实引理

LMI公式

H∞范数 < $\gamma$

${\begin{aligned}P\in {S^{n}};\gamma \in {R_{>0}}\;\\&P>0,\\{\begin{bmatrix}A_{d}^{T}PA_{d}-P&A_{d}^{T}PB_{d}&C_{d}^{T}\\*&B_{d}^{T}PB_{d}-\gamma I&D_{d}^{T}\\*&*&-\gamma I\end{bmatrix}}&<0,\end{aligned}}$

结论

H∞ 范数是满足 LMI 条件的$\gamma \in {R_{>0}}$的最小值。如果$(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d})$是最小实现，则不等式可以是非严格的。

实现

指向 CodeOcean 或其他在线实现 LMI 的链接
MATLAB 代码

相关 LMI

[1] - 连续时间 KYP_Lemma_(Bounded_Real_Lemma)

外部链接

记录和验证 LMI 的参考列表。

• 控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 关于控制中 LMI 的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 编写的 LMI 列表。
• 系统和控制理论中的 LMI - Stephen Boyd 编写的关于 LMI 的可下载书籍。