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离散时间可检测性

离散时间系统对离散时间信号输入进行操作并产生离散时间信号输出。它们用于数字信号处理，例如图像或声音的数字滤波器。离散时间系统中既是线性又是时不变的类别，称为离散时间LTI系统。

离散时间LTI系统可以使用观察器增益L来使其可检测，可以使用LMI优化来找到观察器增益L，使得闭环系统是可检测的。

系统

具有状态空间实现的离散时间LTI系统 $(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d})$
${\begin{aligned}&A_{d}\in {\bf {{R^{n*n}},}}&B_{d}\in {\bf {{R^{n*m}},}}&C_{d}\in {\bf {{R^{p*n}},}}&D_{d}\in {\bf {{R^{p*m}}\;}}\\\end{aligned}}$

数据

矩阵：系统 $(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d}),P,W$.

优化问题

以下可行性问题应该被优化

在服从LMI约束的情况下最大化P。
然后找到L。

LMI

离散时间可检测性

LMI公式

${\begin{aligned}P\in {S^{n}};W\in {R^{m*n}}\;\\&P>0\\{\begin{bmatrix}P&A_{d}^{T}P+C_{d}^{T}W\\*&P\end{bmatrix}}&>0,\\L=P^{-1}W\end{aligned}}$

结论

系统可检测当且仅当存在一个 $P$，使得 $P>0$。矩阵 $A_{d}+LC_{d}$ 是 Schur 矩阵，其中 $L=P^{-1}W$

实现

一个指向 CodeOcean 或其他在线 LMI 实现的链接
MATLAB 代码

相关 LMI

[1] - 连续时间可检测性

外部链接

一个列出文档和验证 LMI 的参考资料列表。

• 最优和鲁棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 关于控制中 LMI 的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 编制的 LMI 列表。
• 系统和控制理论中的 LMI - Stephen Boyd 编著的关于 LMI 的可下载书籍。