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离散时间 H∞ 最优动态输出反馈控制

离散时间系统对离散时间信号输入进行操作并产生离散时间信号输出。它们用于数字信号处理，例如图像或声音的数字滤波器。离散时间系统中既是线性又是时不变的一类系统，称为离散时间 LTI 系统。

动态输出反馈控制器是为离散时间系统设计的，以最小化具有外生输入 $w_{k}$ 和性能输出 $z_{k}$ 的闭环系统的 H∞ 范数。

系统

具有状态空间实现 $(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d})$ 的离散时间 LTI 系统
${\begin{aligned}x_{k+1}&=A_{d}x_{k}+B_{d1}w_{k}+B_{d2}u_{k}\\z_{k}&=C_{d1}x_{k}+D_{d11}w_{k}+D_{d12}u_{k}\\y_{k}&=C_{d2}x_{k}+D_{d21}w_{k}+D_{d22}u_{k}\\\end{aligned}}$

数据

矩阵：系统 $(A_{d},B_{d1},B_{d2},C_{d1},C_{d1},D_{d11},D_{d12},D_{d21},D_{d22}),X_{1},Y_{1},Z,,X_{2},Y_{2}$

控制器 $(A_{dc},B_{dc},C_{dc},D_{dc})$

优化问题

以下可行性问题应优化

$\gamma$ 在服从 LMI 约束的同时被最小化。

LMI

离散时间 H∞ 最优动态输出反馈控制

LMI 公式

H∞ 范数 < $\gamma$

${\begin{aligned}X_{1},Y_{1}\in {S^{n_{x}}};Z\in {S^{n_{z}}};\gamma \in {R_{>0}}\;\\A_{dn}\in {R^{n_{x}*n_{x}}};B_{dn}\in {R^{n_{x}*n_{y}}};C_{dn}\in {R^{n_{u}*n_{x}}};D_{dn}\in {R^{n_{u}*n_{y}}};\\&X_{1}>0\\&Y_{1}>0\\&Z>0\\{\begin{bmatrix}X_{1}&1&X_{1}A_{d}+B_{dn}C_{d2}&A_{dn}&X_{1}B_{d1}+B_{dn}D_{d21}&0\\*&Y_{1}&A_{d}+B_{d2}D_{dn}C_{d2}&A_{d}Y_{1}+B_{d2}C_{dn}&B_{d1}+B_{d2}D_{dn}D_{d21}&0\\*&*&X_{1}&1&0&C_{d1}^{T}+C_{d2}^{T}D_{dn}^{T}D_{d12}^{T}\\*&*&*&Y_{1}&0&Y_{1}C_{d1}^{T}+C_{dn}^{T}D_{d12}^{T}\\*&*&*&*&-\gamma I&D_{d11}^{T}+D_{d21}^{T}D_{dn}^{T}D_{d12}^{T}\\*&*&*&*&*&-\gamma I\end{bmatrix}}&>0,\\{\begin{bmatrix}X_{1}&1\\*&Y_{1}\end{bmatrix}}&>0,\\\end{aligned}}$

控制器由以下公式恢复

${\begin{aligned}&A_{dc}=A_{dk}-B_{dc}(1-D_{d22}D_{dc})^{-1}D_{d22}C_{dc}\\&B_{dc}=B_{dk}(1-D_{dc}D_{d22})\\&C_{dc}=(1-D_{dc}D_{d22})C_{dk}\\&D_{dc}=1+D_{dk}D_{d22})^{-1}D_{dk}\\\end{aligned}}$

其中， ${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}A_{dk}&B_{dk}\\C_{dk}&D_{dk}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}X_{2}&X_{1}B_{d2}\\0&1\end{bmatrix}}^{-1}({\begin{bmatrix}A_{dn}&B_{dn}\\C_{dn}&D_{dn}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}X_{1}A_{d}Y_{1}&0\\0&0\end{bmatrix}}){\begin{bmatrix}Y_{2}^{T}&0\\C_{d2}Y_{1}&1\end{bmatrix}}^{-1}\end{aligned}}$
矩阵 $X_{2}$ 和 $Y_{2}$ 满足 $X_{2}Y_{2}^{T}=1-X_{1}Y_{1}$