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离散时间 H∞ 最优全状态反馈控制

离散时间系统对离散时间信号输入进行操作并产生离散时间信号输出。它们用于数字信号处理，例如用于图像或声音的数字滤波器。离散时间系统中既是线性又是时不变的一类称为离散时间 LTI 系统。

一个离散时间系统的全状态反馈控制器设计，以最小化闭环系统的 H∞ 范数，其中外生输入为 $w_{k}$，性能输出为 $z_{k}$.

系统

具有状态空间实现的离散时间 LTI 系统 $(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d})$
${\begin{aligned}x_{k+1}&=A_{d}x_{k}+B_{d1}w_{k}+B_{d2}u_{k}\\z_{k}&=C_{d1}x_{k}+D_{d12}u_{k}\\y_{k}&=x_{k}\\\end{aligned}}$

数据

矩阵：系统 $(A_{d},B_{d1},B_{d2},C_{d1},D_{d12}),P,F_{d}$.

优化问题

以下可行性问题应被优化

$\gamma$ 应在遵守 LMI 约束的同时被最小化。

LMI

离散时间 H∞ 最优全状态反馈控制

LMI 公式

H∞ 范数 < $\gamma$

${\begin{aligned}P\in {S^{n_{x}}};&F_{d}\in {R^{n_{u}*n_{x}}};\gamma \in {R_{>0}}\;\\&P>0\\{\begin{bmatrix}P&A_{d}P-B_{d2}F_{d}&B_{d1}&0\\*&P&0&PC_{d1}^{T}-F_{d}^{T}D_{d12}^{T}\\*&*&-\gamma I&D_{d11}^{T}\\*&*&*&-\gamma I\end{bmatrix}}&>0,\\\end{aligned}}$

结论

通过 $K_{d}=F_{d}P^{-1}$ 恢复 H∞ 最优全状态反馈增益。

实现

LMI 在线实现的链接，例如 CodeOcean 或其他平台：
MATLAB 代码

相关 LMI

[1] - 连续时间 H∞ 最优全状态反馈控制

外部链接

列出记录和验证 LMI 的参考文献。

• 控制中的 LMI 方法 - 马修·皮特教授关于控制中的 LMI 的课程。
• LMI 的性质和在系统、稳定性和控制理论中的应用 - 瑞安·卡弗里和詹姆斯·福布斯编写的 LMI 列表。
• 系统和控制理论中的 LMI - 斯蒂芬·博伊德编写的关于 LMI 的可下载书籍。