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全状态反馈最优 $H_{\infty }$ 控制

全状态反馈是一种控制技术，它试图根据给定的性能指标，将系统的闭环系统极点放置在指定位置。 $H_{\infty }$ 方法将此任务表述为一个优化问题，并试图最小化系统的 $H_{\infty }$ 范数。在单输入单输出 (SISO) 系统中，该范数表示幅频特性图上的最大增益。在多输入多输出 (MIMO) 系统的情况下，它可以解释为引入到系统中的扰动的最大响应。在任何情况下，通过最小化 $H_{\infty }$，我们正在最小化扰动对系统的最坏情况影响，无论它是噪声还是其他扰动。

系统

系统使用下面显示的 9 矩阵表示法表示。

${\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\z\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B_{1}&B_{2}\\C_{1}&D_{11}&D_{12}\\C_{2}&D_{21}&D_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\w\\u\end{bmatrix}}$

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ 是状态，$z(t)\in \mathbb {R} ^{p}$ 是受控输出，$y(t)\in \mathbb {R} ^{q}$ 是感知输出，$w(t)\in \mathbb {R} ^{r}$ 是外源输入，$u(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ 是执行器输入，在任何 $t\in \mathbb {R}$。

使用较低线性分数变换 (LFT) 将控制器 $K$ 实现到系统中。较低 LFT 表示为 ${\underline {S}}(P,K)$，由 ${\underline {S}}(P,K)=P_{11}+P_{12}(I-KP_{22})^{-1}KP_{21}$ 构成，其中 ${\begin{bmatrix}z\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P_{11}&P_{12}\\P_{21}&P_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}$。对于全状态反馈，我们考虑以下形式的控制器 $u(t)=Fx(t)$。这是一个特例，其中 $y(t)=x(t)$，并产生以下形式的控制器 $K={\begin{bmatrix}0&0\\0&F\end{bmatrix}}$。

数据

$A$，$B_{1}$，$B_{2}$，$C_{1}$，$C_{2}$，$D_{11}$，$D_{12}$，$D_{21}$，$D_{22}$ 已知。

LMI：全状态反馈最优 $H_{\infty }$ 控制 LMI

以下等价。

1) 存在一个 $F$ 使得 $||{\underline {S}}(P,K(0,0,0,F)||_{H_{\infty }}\leq \gamma$

2) 存在 $Y>0$ 和 $Z$ 使得

${\begin{bmatrix}YA^{T}+AY+Z^{T}B_{2}^{T}+B_{2}Z&B_{1}&YC_{1}^{T}+Z^{T}D_{12}^{T}\\B1_{1}^{T}&-\gamma I&D_{11}^{T}\\C_{1}Y+D_{12}Z&D_{11}&-\gamma I\end{bmatrix}}<0$.

那么 $F=ZY^{-1}$.

结论

如果以上 LMI 可行，它将确定 $\gamma$ 对系统的 $H_{\infty }$ 范数的界限。除了这个 $F$ 也被确定，允许使用控制器 ${\hat {K}}(0,0,0,F)$ 确定闭环系统，该控制器在优化过程中找到。

实现

此实现需要 Yalmip 和 Sedumi。 https://github.com/eoskowro/LMI/blob/master/FSF_Hinf.m

相关 LMI

全状态反馈最优 H2 LMI

外部链接

• 最优和鲁棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 关于控制中 LMI 的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 的 LMI 列表。
• 系统和控制理论中的 LMI - Stephen Boyd 关于 LMI 的可下载书籍。
• 控制系统中的 LMI：分析、设计和应用 - 由段广仁和余海华著，CRC 出版社，泰勒和弗朗西斯集团，2013 年。
• 鲁棒控制理论课程：凸方法 - Geir E. Dullerud 和 Fernando G. Paganini 著，施普林格，2011 年，第 7 章。