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离散时间H2最优动态输出反馈控制

离散时间系统对离散时间信号输入进行操作并产生离散时间信号输出。它们用于数字信号处理，例如图像或声音的数字滤波器。一类既是线性又是时不变的离散时间系统，称为离散时间LTI系统。

为离散时间系统设计动态输出反馈控制器，以最小化具有外生输入 $w_{k}$ 和性能输出 $z_{k}$ 的闭环系统的H2范数。

系统

具有状态空间实现 $(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d})$ 的离散时间LTI系统
${\begin{aligned}x_{k+1}&=A_{d}x_{k}+B_{d1}w_{k}+B_{d2}u_{k}\\z_{k}&=C_{d1}x_{k}+D_{d11}w_{k}+D_{d12}u_{k}\\y_{k}&=C_{d2}x_{k}+D_{d21}w_{k}+D_{d22}u_{k}\\\end{aligned}}$

数据

矩阵：系统 $(A_{d},B_{d1},B_{d2},C_{d1},C_{d1},D_{d11},D_{d12},D_{d21},D_{d22}),X_{1},Y_{1},Z,,X_{2},Y_{2}$

控制器 $(A_{dc},B_{dc},C_{dc},D_{dc})$

优化问题

以下可行性问题应被优化

$\mu$ 在遵守LMI约束的情况下最小化。

LMI

离散时间H2最优全状态反馈控制

LMI公式

H2范数 < $\mu$

控制器由以下公式恢复：

${\begin{aligned}&A_{dc}=A_{dk}-B_{dc}(1-D_{d22}D_{dc})^{-1}D_{d22}C_{dc}\\&B_{dc}=B_{dk}(1-D_{d22}D_{dc})\\&C_{dc}=(1-D_{dc}D_{d22})C_{dk}\\&D_{dc}=1+D_{dk}D_{d22})^{-1}D_{dk}\\\end{aligned}}$

其中，${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}A_{dk}&B_{dk}\\C_{dk}&D_{dk}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}X_{2}&X_{1}B_{d2}\\0&1\end{bmatrix}}^{-1}({\begin{bmatrix}A_{dn}&B_{dn}\\C_{dn}&D_{dn}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}X_{1}A_{d}Y_{1}&0\\0&0\end{bmatrix}}){\begin{bmatrix}Y_{2}^{T}&0\\C_{d2}Y_{1}&1\end{bmatrix}}^{-1}\end{aligned}}$
矩阵$X_{2}$ 和 $Y_{2}$ 满足 $X_{2}Y_{2}^{T}=1-X_{1}Y_{1}$

给定 $X_{1}$ 和 $Y_{1}$，矩阵 $X_{2}$ 和 $Y_{2}$ 可以使用矩阵分解来找到，例如 LU 分解或 Cholesky 分解。

如果 $D_{d11}=0$，$D_{d12}$ ≠ 0，并且 $D_{d21}$ ≠ 0，那么通常选择 $D_{dn}=0$ 为了满足等式约束

结论

离散时间 H2 最优动态输出反馈控制器是系统 $(A_{dc},B_{dc},C_{dc},D_{dc})$

实现

CodeOcean 或其他 LMI 在线实现的链接
MATLAB 代码

相关 LMI

[1] - 连续时间 H2 最优动态输出反馈控制

外部链接

记录和验证 LMI 的参考列表。

• 线性矩阵不等式（LMI）在最优与鲁棒控制中的应用 - 由 Matthew Peet 编写的关于控制理论中LMI的课程。
• 线性矩阵不等式（LMI）的性质及其在系统、稳定性和控制理论中的应用 - 由 Ryan Caverly 和 James Forbes 编写的 LMI 列表。
• 线性矩阵不等式（LMI）在系统与控制理论中的应用 - 由 Stephen Boyd 编写的关于 LMI 的可下载书籍。