控制中的 LMI/pages/最佳输出反馈 H2 LMI

最佳输出反馈 $H_{2}$ LMI

与状态反馈类似，当输出信息未知时，需要输出反馈。通常，卡尔曼滤波等技术被用来解决这个问题。然而，下面的方法不使用滤波技术，而是使用 LMI 约束的组合来执行输出反馈，并找到 $H_{2}$ 范数的最小界限。 $H_{2}$ 通常使用更经典的工具（如 Riccati 方程）来完成。最近，LMI 技术已被用来解决诸如全状态反馈或输出反馈之类的难题，如下所示。

系统

系统使用以下所示的 9 矩阵表示法。

${\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\z\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B_{1}&B_{2}\\C_{1}&D_{11}&D_{12}\\C_{2}&D_{21}&D_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\w\\u\end{bmatrix}}$

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ 是状态，$z(t)\in \mathbb {R} ^{p}$ 是受控输出，$y(t)\in \mathbb {R} ^{q}$ 是感知输出，$w(t)\in \mathbb {R} ^{r}$ 是外源输入，以及 $u(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ 是执行器输入，在任意 $t\in \mathbb {R}$.

数据

$A$，$B_{1}$，$B_{2}$，$C_{1}$，$C_{2}$，$D_{11}$，$D_{12}$，$D_{21}$，$D_{22}$ 是已知的。

LMI： 最优输出反馈 $H_{2}$ 控制 LMI

以下是等价的。

1) 存在一个 ${\hat {K}}={\begin{bmatrix}A_{K}&B_{K}\\C_{K}&D_{K}\end{bmatrix}}$ 使得 $||S(K,P)||_{H_{2}}<\gamma$

2) 存在 $X_{1}$, $Y_{1}$, $Z$, $A_{n}$, $B_{n}$, $C_{n}$, $D_{n}$ 使得

${\begin{bmatrix}AY_{1}+Y_{1}A^{\text{T}}+B_{2}C_{n}+C_{n}B_{2}^{\text{T}}&*^{\text{T}}&*^{\text{T}}\\A^{\text{T}}+A_{n}+(B_{2}D_{n}C_{2})^{\text{T}}&X_{1}A+A^{\text{T}}+B_{n}C_{2}+C_{2}^{\text{T}}B_{n}^{\text{T}}&*^{\text{T}}\\(B_{1}+B_{2}D_{n}D_{21})^{\text{T}}&(X_{1}B_{1}+B_{n}D_{21})^{\text{T}}&-\gamma I\\\end{bmatrix}}<0$

${\begin{bmatrix}Y_{1}&*^{T}&*^{T}\\I&X_{1}&*^{T}\\C_{1}Y_{1}+D_{12}C_{n}&C_{1}+D_{12}D_{n}C_{2}&Z\end{bmatrix}}>0$

$D_{11}+D_{12}D_{n}D_{21}=0$

${\text{trace}}(Z)<\gamma ^{2}$

结论

上述 LMI 确定了 H2 范数的上界 $\gamma$。此外，控制器 ${\hat {K}}(A_{K},B_{K},C_{K},D_{K})$ 也可以恢复。

$D_{K}=(I+D_{K2}D_{22})^{-1}D_{K2}$

$B_{K}=B_{K2}(I+D_{22}D_{K})$

$C_{K}=(I+D_{K}D_{22})C_{K2}$

$A_{K}=A_{K2}-B_{K}(I+D_{22}D_{K})^{-1}D_{22}C_{K}$

其中，

${\begin{bmatrix}A_{K2}&B_{K2}\\C_{K2}&D_{K2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}X_{2}&X_{1}B_{2}\\0&I\end{bmatrix}}^{-1}\left[{\begin{bmatrix}A_{n}&B_{n}\\C_{n}&D_{n}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}X_{1}AY_{1}&0\\0&0\end{bmatrix}}\right]{\begin{bmatrix}Y_{2}^{T}&0\\C_{2}Y_{1}&I\end{bmatrix}}^{-1}$

对于任何满秩 $X_{2}$ 和 $Y_{2}$，使得

${\begin{bmatrix}X_{1}&X_{2}\\X_{2}^{T}&X_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y_{1}&Y_{2}B_{2}\\Y_{2}^{T}&Y_{3}\end{bmatrix}}^{-1}$.

实现

此实现需要 Yalmip 和 Sedumi。 https://github.com/eoskowro/LMI/blob/master/OF_H2.m

相关 LMI

最佳输出反馈 Hinf

外部链接

记录和验证 LMI 的参考文献列表。

• 最佳和鲁棒控制中的 LMI 方法 - 马修·皮特的控制 LMI 课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用 - 瑞安·卡弗利和詹姆斯·福布斯的 LMI 列表。
• 系统和控制理论中的 LMI - 斯蒂芬·博伊德的 LMI 可下载书籍。
• 控制系统中的 LMI：分析、设计和应用 - 段广仁和于海华著，CRC 出版社，泰勒与弗朗西斯集团，2013 年，第 6.1.1 节和表 6.1，第 166-170 页，192 页。
• 鲁棒控制理论课程：凸方法 - 盖尔·E·杜勒鲁德和费尔南多·G·帕加尼尼著，施普林格，2011 年，第 2.2.3 节，第 71-73 页。