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离散时间 H2 最优全状态反馈控制

离散时间系统对离散时间信号输入进行运算，并产生离散时间信号输出。它们用于数字信号处理，例如图像或声音的数字滤波器。离散时间线性时不变系统（离散时间 LTI 系统）属于一类既是线性又是时不变的离散时间系统。

为离散时间系统设计全状态反馈控制器，以最小化闭环系统的 H2 范数，其中外生输入为 $w_{k}$，性能输出为 $z_{k}$.

系统

具有状态空间实现 $(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d})$ 的离散时间 LTI 系统
${\begin{aligned}x_{k+1}&=A_{d}x_{k}+B_{d1}w_{k}+B_{d2}u_{k}\\z_{k}&=C_{d1}x_{k}+D_{d12}u_{k}\\y_{k}&=x_{k}\\\end{aligned}}$

数据

矩阵：系统 $(A_{d},B_{d1},B_{d2},C_{d1},D_{d12}),P,Z,F_{d}$.

优化问题

以下可行性问题应被优化

$\mu$ 在服从 LMI 约束的情况下被最小化。

LMI

离散时间 H2 最优全状态反馈控制

LMI 公式

H2 范数 < $\mu$

${\begin{aligned}P\in {S^{n_{x}}};Z\in {S^{n_{z}}};&F_{d}\in {R^{n_{u}*n_{x}}};\mu \in {R_{>0}}\;\\&P>0\\&Z>0\\{\begin{bmatrix}P&A_{d}P+B_{d2}F_{d}&B_{d1}\\*&P&0\\*&*&I\end{bmatrix}}&>0,\\{\begin{bmatrix}Z&C_{d1}P+D_{d12}F_{d}\\*&P\end{bmatrix}}&>0,\\&trZ<\mu ^{2}\end{aligned}}$

结论

H2 最优全状态反馈增益由 $K_{d}=F_{d}P^{-1}$ 恢复。

实现

LMI 在线实现的链接（CodeOcean 或其他在线平台）
MATLAB 代码

相关 LMI

[1] - 连续时间 H2 最优全状态反馈控制

外部链接

记录和验证 LMI 的参考列表。

• 控制中的 LMI 方法 - 马修·皮特的关于控制中的 LMI 的课程。
• LMI 性质及其在系统、稳定性和控制理论中的应用 - 瑞安·卡弗里和詹姆斯·福布斯的 LMI 列表。
• 系统与控制理论中的 LMI - 斯蒂芬·博伊德关于 LMI 的可下载书籍。