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全状态反馈最优 $H_{2}$ 控制

全状态反馈通常的目标是将系统的闭环极点放置在所需的位置。这使我们能够指定系统的性能，例如要求稳定性或限制输出的超调。通过最小化 $H_{2}$ 规范，我们最小化噪声对系统的影響，作为性能指标的一部分，特别是在了解噪声分布的情况下。

系统

系统使用下面显示的 9 矩阵表示法表示。

${\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\z\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B_{1}&B_{2}\\C_{1}&D_{11}&D_{12}\\C_{2}&D_{21}&D_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\w\\u\end{bmatrix}}$

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ 是状态，$z(t)\in \mathbb {R} ^{p}$ 是受控输出，$y(t)\in \mathbb {R} ^{q}$ 是被感知的输出，$w(t)\in \mathbb {R} ^{r}$ 是外源输入，$u(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ 是执行器输入，在任何 $t\in \mathbb {R}$ 。

数据

$A$, $B_{1}$, $B_{2}$, $C_{1}$, $C_{2}$, $D_{11}$, $D_{12}$, $D_{21}$, $D_{22}$ 已知。

线性矩阵不等式（LMI）： 最优输出反馈 $H_{\infty }$ 控制 LMI

以下等价。

1) 存在一个 $K$ 使得 $||S(K,P)||_{H_{2}}<\gamma$

2) 存在 $X>0$, $Z$ 和 $W$ 使得

${\begin{bmatrix}A&B_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X\\Z\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}X&Z^{T}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A^{T}\\B_{2}^{T}\end{bmatrix}}+B_{1}B_{1}^{T}<0$

${\begin{bmatrix}X&*^{T}\\C_{1}X+D_{12}Z&W\end{bmatrix}}>0$

$trace(W)<\gamma ^{2}$

其中 $K=ZX^{-1}$

结论

此 LMI 解决 $H_{2}$ 最优全状态反馈问题，并找到 $H_{2}$ 系统范数的上界，$\gamma$。此外，控制器 $K$ 也在过程中被找到。

实现

此实现需要 Yalmip 和 Sedumi。 https://github.com/eoskowro/LMI/blob/master/FSF_H2.m

相关 LMI

全状态反馈最优 $H_{\infty }$ LMI

外部链接

• 最优和鲁棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 的关于控制中 LMI 的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 的 LMI 列表。
• 系统和控制理论中的 LMI - Stephen Boyd 关于 LMI 的可下载书籍。
• 控制系统中的 LMI：分析、设计和应用 - 由 Guang-Ren Duan 和 Hai-Hua Yu 撰写，CRC 出版社，泰勒和弗朗西斯集团，2013 年。
• 鲁棒控制理论课程：凸方法 - 由 Geir E. Dullerud 和 Fernando G. Paganini 撰写，Springer，2011 年，第 6 章。