控制中的 LMI / 页面 / 离散时间 QSR

概念

在系统理论中，耗散的概念最初由 Willems 提出，它通过输入-输出特性描述动态系统。考虑一个由状态 $x(t)$、输入 $u(t)$ 和输出 $y(t)$ 描述的动态系统，输入-输出关联被赋予了一个供给率 $w(u(t),y(t))$。如果存在一个连续可微的存储函数 $V(x(t))$，使得 $V(0)=0$、$V(x(t))\geq 0$ 并且

${\dot {V}}(x(t))\leq w(u(t),y(t))$

作为耗散的一个特例，如果上述耗散不等式在无源性供给率 $w(u(t),y(t))=u(t)^{T}y(t)$ 下成立，则称一个系统为无源的。

物理解释是 $V(x)$ 是系统中存储的能量，而 $w(u(t),y(t))$ 是供应给系统的能量。

这个概念与李雅普诺夫稳定性有密切联系，在动态系统的可控性和可观测性满足一定条件下，存储函数可以充当李雅普诺夫函数的作用。

简而言之，耗散理论可用于为线性和非线性系统设计反馈控制律。耗散系统理论由 Vasile M. Popov、Jan Camiel Willems、D.J. Hill 和 P. Moylan 等人研究。在线性不变系统的情况下，这被称为正实传递函数，一个基本工具是所谓的卡尔曼-雅库波维奇-波波夫引理，它将正实系统的状态空间和频域特性联系起来。由于耗散系统在系统和控制中的重要应用，它仍然是系统和控制领域一个活跃的研究领域。

系统

考虑一个离散时间线性时不变系统，${\mathcal {G}}:{\mathcal {l}}_{2e}\rightarrow {\mathcal {l}}_{2e}$，其最小状态空间实现为$({\mathcal {A}}_{d},{\mathcal {B}}_{d},{\mathcal {C}}_{d},{\mathcal {D}}_{d})$，其中${\mathcal {A}}_{d}\in {\mathcal {R}}^{n\times n},{\mathcal {B}}_{d}\in {\mathcal {R}}^{n\times m},{\mathcal {C}}_{d}\in {\mathcal {R}}^{p\times n},$ 以及${\mathcal {D}}_{d}\in {\mathcal {R}}^{p\times m}$.

$x(k+1)={\mathcal {A}}_{d}x(k)+{\mathcal {B}}_{d}u(k)$

$y(k)={\mathcal {C}}_{d}x(k)+{\mathcal {D}}_{d}u(k),k=0,1...$

数据

矩阵${\mathcal {A}}_{d},{\mathcal {B}}_{d},{\mathcal {C}}_{d}$ 以及${\mathcal {D}}_{d}$

优化问题

系统${\mathcal {G}}$ 是QSR 耗散的，如果

$\sum _{i\mathop {=} 0}^{K}({\mathcal {y}}_{i}^{T}Q{\mathcal {y}}_{i}+2{\mathcal {y}}_{i}^{T}S{\mathcal {u}}_{i}+{\mathcal {u}}_{i}^{T}R{\mathcal {u}}_{i})\,dt\geq 0,\forall u\in {\mathcal {l}}_{2e},\forall k\in {\mathcal {Z}}\geq 0$

其中 ${\mathcal {u}}_{k}$ 是对 ${\mathcal {G}},{\mathcal {y}}_{k}$ 的输入，${\mathcal {y}}_{k}$ 是对 ${\mathcal {G}}$ 的输出，$Q\in {\mathcal {S}}^{p},S\in {\mathcal {R}}^{p\times m},$ 以及 ${\mathcal {R}}\in {\mathcal {S}}^{m}$.

LMI：QSR耗散系统的离散时间KYP引理

系统 ${\mathcal {G}}$ 也是 **QSR** 耗散的当且仅当存在 $P\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $P>0,$ 使得

${\begin{bmatrix}A_{d}^{T}PA_{d}-P-C_{d}^{T}QC_{d}&A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T}S-C_{d}^{T}QD_{d}\\(A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T}S-C_{d}^{T}QD_{d})^{T}&B_{d}^{T}PB_{d}-D_{d}^{T}QD_{d}-(D_{d}^{T}S+S^{T}D_{d})-R\end{bmatrix}}\leq 0.$

结论

如果存在正定矩阵$P$ 用于选择的Q,S 和 R 矩阵，则系统 ${\mathcal {G}}$ 是 QSR 消散的。

实现

使用 MATLAB 实现此 LMI 的代码。 https://github.com/VJanand25/LMI

相关 LMI

KYP 引理
连续时间 QSR 消散系统的 KYP 引理

参考文献

1. J. C. Willems，“耗散动力系统 - 第一部分：一般理论”，《合理力学与分析档案》，第 45 卷，第 5 期，第 321-351 页，1972 年。
2. D. J. Hill 和 P. J. Moylan，“非线性耗散系统的稳定性”，《IEEE 自动控制学报》，第 21 卷，第 5 期，第 708-711 页，1976 年。
3. LMI 属性及其在系统、稳定性和控制理论中的应用，作者：Ryan James Caverly1 和 James Richard Forbes2