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离散时间可稳定性

离散时间系统对离散时间信号输入进行操作并产生离散时间信号输出。它们用于数字信号处理，例如图像或声音的数字滤波器。离散时间系统中既是线性又是时不变的一类称为离散时间LTI系统。

离散时间LTI系统可以使用控制器增益K进行稳定，该增益可以使用LMI优化找到，使得闭环系统稳定。

系统

具有状态空间实现的离散时间LTI系统$(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d})$
${\begin{aligned}&A_{d}\in {\bf {{R^{n*n}},}}&B_{d}\in {\bf {{R^{n*m}},}}&C_{d}\in {\bf {{R^{p*n}},}}&D_{d}\in {\bf {{R^{p*m}}\;}}\\\end{aligned}}$

数据

矩阵：系统$(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d}),P,W$.

优化问题

以下可行性问题应进行优化

在服从LMI约束的情况下最大化P。
然后找到K。

LMI

离散时间可稳定性

LMI公式

${\begin{aligned}P\in {S^{n}};W\in {R^{m*n}}\;\\&P>0\\{\begin{bmatrix}P&A_{d}P+B_{d}W\\*&P\end{bmatrix}}&>0,\\K_{d}=WP^{-1}\end{aligned}}$

结论

系统可稳定当且仅当存在一个 $P$，使得 $P>0$。矩阵 $A_{d}+B_{d}K_{d}$ 是 Schur 矩阵，其中 $K_{d}=WP^{-1}$

实现

CodeOcean 或其他在线实现 LMI 的链接
MATLAB 代码

相关 LMI

[1] - 连续时间可稳定性

外部链接

文档化和验证 LMI 的参考资料列表。

• 最优和鲁棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 的关于 LMI 在控制中的课程。
• LMI 在系统、稳定性和控制理论中的性质和应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 的 LMI 列表。
• 系统和控制理论中的 LMI - Stephen Boyd 关于 LMI 的可下载书籍。