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可稳定性 LMI

如果系统的所有不稳定模式都是可控的，则系统是可稳定性的。这意味着如果系统是可控的，它也将是可稳定性的。因此，可稳定性本质上是可控性条件的较弱版本。对 $(A,B)$ 对的稳定性，LMI 条件如下所示。

系统

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t),\\x(0)&=x_{0},\end{aligned}}$

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$，$u(t)\in \mathbb {R} ^{m}$，在任何 $t\in \mathbb {R}$。

数据

此 LMI 所需的矩阵是 $A$ 和 $B$。对 A 的稳定性没有限制。

LMI： 可稳定性 LMI

$(A,B)$ 是可稳定性的，当且仅当存在 $X>0$ 使得

$AX+XA^{T}-BB^{T}<0$,

其中稳定控制器由下式给出

$u(t)=-{\frac {1}{2}}B^{T}X^{-1}x(t)$.

结论

如果我们能够找到一个 $X>0$ 使得上述LMI成立，则矩阵对 $(A,B)$ 是可稳定化的。换句话说，系统对 $(A,B)$ 是可稳定化的，如果对于任何初始状态 $x(0)=x_{0}$，都可以找到一个合适的输入 $u(t)$ 使得状态 $x(t)$ 渐近地趋近于原点。可稳定化是一个比可控性更弱的条件，因为我们只需要趋近于 $x(t)=0$ 当 $t\rightarrow \infty$，而可控性则要求状态必须在有限时间内到达原点。

实现

此实现需要 Yalmip 和 Sedumi。

https://github.com/eoskowro/LMI/blob/master/Stabilizability_LMI.m

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外部链接

记录和验证 LMI 的参考文献列表。

• 最优和鲁棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 关于 LMI 在控制中的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 编制的 LMI 列表。
• 系统和控制理论中的 LMI - Stephen Boyd 编著的 LMI 可下载书籍。
• 控制系统中的 LMI：分析、设计和应用 - 由 Duan Guang-Ren 和 Yu Hai-Hua 撰写，CRC 出版社，Taylor & amp; Francis 集团，2013 年，第 6.1.1 节和第 6.1 表，第 166-170 页、192 页。
• 鲁棒控制理论课程：凸方法 - 由 Geir E. Dullerud 和 Fernando G. Paganini 撰写，施普林格出版社，2011 年，第 2.2.3 节，第 71-73 页。