控制中的LMI/页面/矩阵和LMI基础/基本矩阵理论

基本矩阵符号

考虑复矩阵 $A\in \mathbb {C} ^{n\times m}$ .

A={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{1m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\dots &a_{nm}\end{bmatrix}}\in \mathbb {C} ^{n\times m}

矩阵的转置

$A$ 的转置，记为 $A^{T}$ 或 $A'$ 是

A^{T}={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{n1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1m}&\dots &a_{nm}\end{bmatrix}}\in \mathbb {C} ^{m\times n}.

矩阵的伴随

$A$ 的伴随或厄米特共轭，记为 $A^{*}$ 是

A^{*}={\begin{bmatrix}a_{11}^{*}&\dots &a_{n1}^{*}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1m}^{*}&\dots &a_{nm}^{*}\end{bmatrix}}\in \mathbb {C} ^{m\times n}.

其中 $a_{nm}^{*}$ 是矩阵元素 $a_{nm}$ 的复共轭。

注意对于实矩阵 $A\in \mathbb {R} ^{n\times m}$ ， $A^{*}=A^{T}$ .

厄米特、自伴随和对称矩阵

如果一个方阵 $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ 满足 $A=A^{*}$ ，则称为厄米特矩阵或自伴矩阵。

如果 $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ 是厄米特矩阵，则称为对称矩阵。

酉矩阵

如果一个方阵 $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ 满足 $A^{*}=A^{-1}$ 或者 $A^{*}A=I$ ，则称为酉矩阵。