控制中的 LMI / 页面 / 矩阵和 LMI 基础 / 矩阵正定性概念

正定性符号

一个对称矩阵 $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ 被定义为

半正定，$(A\geq 0)$，如果对于所有 $x\in \mathbb {R} ^{n},x\neq \mathbf {0}$，$x^{T}Ax\geq 0$。

正定，$(A>0)$，如果对于所有 $x\in \mathbb {R} ^{n},x\neq \mathbf {0}$，$x^{T}Ax>0$。

半负定，$(-A\geq 0)$。

负定，$(-A>0)$。

不定，如果 $A$ 既不是半正定也不是半负定。

正定矩阵的性质

• 对于任何矩阵 $M$，$M^{T}M>0$。
• 正定矩阵是可逆的，并且其逆矩阵也是正定的。
• 一个正定矩阵 $A>0$ 有一个平方根，$A^{1/2}>0$，使得 $A^{1/2}A^{1/2}=A$。
• 对于一个正定矩阵$A>0$ 和可逆矩阵$M$，$M^{T}AM>0$.
• 如果$A>0$ 并且$M>0$，那么$A+M>0$.
• 如果$A>0$，那么$\mu A>0$ 对于任何标量$\mu >0$.

外部链接

• 最优与鲁棒控制中的LMI方法 - 马修·皮特的关于控制中LMIs的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的LMI性质和应用 - 莱恩·卡弗利和詹姆斯·福布斯的LMI列表。
• 系统与控制理论中的LMIs - 斯蒂芬·博伊德关于LMIs的可下载书籍。