控制中的 LMI/pages/H-2 滤波

控制中的 LMI/pages/H-2 滤波

对于具有扰动的系统，滤波可用于减少这些扰动的影响。本页介绍了一种获得滤波器的方法，该滤波器将尽可能减少扰动的影响。为此，我们希望找到一组描述滤波系统的新系数矩阵。实现这种新系统的过程如下。H2 滤波器试图最小化误差的平均幅度。

系统

为了应用此 LMI，我们将研究可以用状态空间表示的线性系统，如下所示

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+Bw,x(0)=x_{0}\\y&=Cx+Dw\\z&=Lx\end{aligned}}$

其中 $x\in R^{n},y\in R^{l},z\in R^{m}$ 分别代表状态向量、测量输出向量和感兴趣的输出向量， $w\in R^{p}$ 是扰动向量， $A,B,C,D$ 和 $L$ 是适当维度的系统矩阵。为了进一步定义： $x$ 是 $\in R^{n}$ 并且是状态向量， $A$ 是 $\in R^{n*n}$ 并且是状态矩阵， $B$ 是 $\in R^{n*r}$ 并且是输入矩阵， $w$ 是 $\in R^{r}$ 并且是外生输入， $C$ 是 $\in R^{m*n}$ 并且是输出矩阵， $D$ 和 $L$ 是 $\in R^{m*r}$ 并且是直通矩阵， $y$ 和 $z$ 是 $\in R^{m}$ 并且分别是输出和感兴趣的输出。

数据

数据是 $w$（扰动向量），以及 $A,B,C,D$ 和 $L$（系统矩阵）。此外，$A$ 矩阵被假定为稳定的。

优化问题

我们需要设计一个滤波器，尽最大可能消除扰动的影响。为此，我们采用以下形式的滤波器

${\begin{aligned}{\dot {\sigma }}&=A_{f}\sigma +B_{f}y,\sigma (0)=\sigma _{0}\\{\hat {z}}&=C_{f}\sigma ,\end{aligned}}$

其中 $\sigma \in R^{n}$ 是状态向量，${\hat {z}}\in R^{m}$ 是估计向量，以及 $A_{f},B_{f},C_{f}$ 是适当维度的系数矩阵。

请注意，组合后的完整系统可以表示为

${\begin{aligned}{\dot {x}}_{e}&={\tilde {A}}x_{e}+{\tilde {B}}w,x_{e}(0)=x_{e0}\\{\tilde {z}}&={\tilde {C}}x_{e},\end{aligned}}$

其中 ${\tilde {z}}=z-{\hat {z}}\in R^{m}$ 是估计误差，

${\begin{aligned}x_{e}={\begin{bmatrix}x\\\sigma \end{bmatrix}}\\\end{aligned}}$

是系统的状态向量，以及 ${\tilde {A}},{\tilde {B}},{\tilde {C}}$ 是系数矩阵，定义为

${\begin{aligned}{\tilde {A}}={\begin{bmatrix}A&0\\B_{f}C&A_{f}\end{bmatrix}},{\tilde {B}}={\begin{bmatrix}B\\B_{f}D\end{bmatrix}},\\{\tilde {C}}={\begin{bmatrix}L&-C_{f}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

换句话说，对于上面定义的系统，我们需要找到 $A_{f},B_{f},C_{f}$ 使得

${\begin{aligned}||G_{{\tilde {z}}w}(s)||_{2}<\gamma ,\end{aligned}}$

其中 $\gamma$ 是一个正的常数，并且

${\begin{aligned}G_{{\tilde {z}}w}(s)={\tilde {C}}(sI-{\tilde {A}})^{-1}{\tilde {B}}\end{aligned}}$

LMI： H-2 滤波

对于这个 LMI，如果以下 LMI 集中的其中一个成立，则解存在

矩阵 $R,X,M,N,Z,Q$ 存在，并满足以下 LMIs

${\begin{aligned}R-X&>0,\\trace(Q)&<\gamma ^{2},\\{\begin{bmatrix}-Q&*&*\\L^{T}&-R&*\\-N^{T}&-X&-X\end{bmatrix}}&<0,\\{\begin{bmatrix}RA+A^{T}R+ZC+C^{T}Z^{T}&*&*\\M^{T}+ZC+XA&M^{T}+M&*\\B^{T}R+D^{T}Z^{T}&B^{T}X+D^{T}Z^{T}&-I\end{bmatrix}}&<0.\\\end{aligned}}$

或

存在满足以下 LMI 的矩阵 ${\bar {R}},{\bar {X}},{\bar {M}},{\bar {N}},{\bar {Z}},{\bar {Q}}$

${\begin{aligned}{\bar {R}}-{\bar {X}}&>0,\\trace({\bar {Q}})&<\gamma ^{2},\\{\begin{bmatrix}-{\bar {Q}}&*&*\\{\bar {R}}B+{\bar {Z}}D&-{\bar {R}}&*\\{\bar {X}}B+{\bar {Z}}D&-{\bar {X}}&-I\end{bmatrix}}&<0,\\{\begin{bmatrix}{\bar {R}}A+A^{T}{\bar {R}}+{\bar {Z}}C+C^{T}{\bar {Z}}^{T}&*&*\\{\bar {M}}^{T}+{\bar {Z}}C+{\bar {X}}A&{\bar {M}}^{T}+{\bar {M}}&*\\L&-{\bar {N}}&-I\end{bmatrix}}&<0.\\\end{aligned}}$

结论

为了找到相应的滤波器，使用第一个解中的优化矩阵，可以找到

$A_{f}=X^{-1}M,B_{f}=X^{-1}Z,C_{f}=N$

或者使用第二个解找到

$A_{f}={\bar {X}}^{-1}{\bar {M}},B_{f}={\bar {X}}^{-1}{\bar {Z}},C_{f}={\bar {N}}$

然后可以利用这些矩阵来生成 ${\tilde {A}},{\tilde {B}},{\tilde {C}}$ 来构建最终的滤波器，该滤波器将最佳地消除系统的干扰。

${\begin{aligned}{\dot {x}}_{e}&={\tilde {A}}x_{e}+{\tilde {B}}w,x_{e}(0)=x_{e0}\\{\tilde {z}}&={\tilde {C}}x_{e},\end{aligned}}$

实现

此实现需要 Yalmip 和 Sedumi。

https://github.com/rezajamesahmed/LMImatlabcode/blob/master/H2_Filtering.m

相关 LMI

H-无穷大滤波

外部链接

此 LMI 来自

• [1] - “控制系统中的 LMI：分析、设计和应用”由段广仁和余海华著

其他资源

• 控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 关于控制中的 LMI 的课程。
• LMI 属性及其在系统、稳定性和控制理论中的应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 编制的一份 LMI 列表。
• 系统与控制理论中的 LMI - Stephen Boyd 编著的关于 LMI 的可下载书籍。

参考文献

段广仁 (2013)。控制系统中的 LMI：分析、设计和应用。博卡拉顿：CRC 出版社，泰勒与弗朗西斯集团。