控制中的LMI/pages/H-infinity 滤波

控制中的LMI/pages/H-infinity 滤波

对于存在扰动的系统，滤波可以用于减少这些扰动的影响。此页面描述了一种获得滤波器的方法，该滤波器将尽可能地减少扰动的影响。为此，我们希望找到一组新的系数矩阵来描述滤波后的系统。实现这种新系统的过程在下面描述。H-infinity 滤波器试图最小化最大误差幅度。

系统

为了应用此 LMI，我们将关注可以使用状态空间表示的线性系统，如下所示：

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+Bw,x(0)=x_{0}\\y&=Cx+Dw\\z&=Lx\end{aligned}}$

其中 $x\in R^{n},y\in R^{l},z\in R^{m}$ 分别代表状态向量、测量输出向量和感兴趣的输出向量，$w\in R^{p}$ 是扰动向量，而 $A,B,C,D$ 和 $L$ 是相应维度的系统矩阵。

进一步定义：$x$ 是 $\in R^{n}$ 并且是状态向量，$A$ 是 $\in R^{n*n}$ 并且是状态矩阵，$B$ 是 $\in R^{n*r}$ 并且是输入矩阵，$w$ 是 $\in R^{r}$ 并且是外生输入，$C$ 是 $\in R^{m*n}$ 并且是输出矩阵，$D$ 和 $L$ 是 $\in R^{m*r}$ 并且是直通矩阵，$y$ 和 $z$ 是 $\in R^{m}$ 并且分别是输出和感兴趣的输出。

数据

数据是 $w$（扰动向量）和 $A,B,C,D$ 和 $L$（系统矩阵）。此外，假设 $A$ 矩阵是稳定的。

优化问题

我们需要设计一个过滤器来尽可能地消除干扰的影响。为此，我们使用以下形式的过滤器

${\begin{aligned}{\dot {\sigma }}&=A_{f}\sigma +B_{f}\sigma ,\sigma (0)=\sigma _{0}\\{\hat {z}}&=C_{f}\sigma +D_{f}y,\end{aligned}}$

其中 $\sigma \in R^{n}$ 是状态向量，${\hat {z}}\in R^{m}$ 是 z 的估计向量，$A_{f},B_{f},C_{f},andD_{f}$ 是相应维度的系数矩阵。

请注意，组合后的完整系统可以表示为

${\begin{aligned}{\dot {x}}_{e}&={\tilde {A}}x_{e}+{\tilde {B}}w,x_{e}(0)=x_{e0}\\{\tilde {z}}&={\tilde {C}}x_{e}+{\tilde {D}}w,\end{aligned}}$

其中 ${\tilde {z}}=z-{\hat {z}}\in R^{m}$ 是估计误差，

${\begin{aligned}x_{e}={\begin{bmatrix}x\\\sigma \end{bmatrix}}\\\end{aligned}}$

是系统的状态向量，${\tilde {A}},{\tilde {B}},{\tilde {C}},{\tilde {D}}$ 是系数矩阵，定义为

${\begin{aligned}{\tilde {A}}={\begin{bmatrix}A&0\\B_{f}C&A_{f}\end{bmatrix}},{\tilde {B}}={\begin{bmatrix}B\\B_{f}D\end{bmatrix}},\\{\tilde {C}}={\begin{bmatrix}L-D_{f}C&-C_{f}\end{bmatrix}},{\tilde {D}}=-D_{f}D\end{aligned}}$

换句话说，对于上述定义的系统，我们需要找到 $A_{f},B_{f},C_{f},andD_{f}$ 使得

${\begin{aligned}|G_{{\tilde {z}}w}(s)|_{\inf }<\gamma ,\end{aligned}}$

其中 $\gamma$ 是一个正的常数，并且

${\begin{aligned}G_{{\tilde {z}}w}(s)={\tilde {C}}(sI-{\tilde {A}})^{-1}{\tilde {B}}+{\tilde {D}}.\end{aligned}}$

LMI: H 无穷滤波

该解可以通过找到矩阵 $R,X,M,N,Z,D_{f}$ 来实现，这些矩阵满足以下 LMI

${\begin{aligned}X&>0\\R-X&>0\\{\begin{bmatrix}RA+A^{T}R+ZC+C^{T}Z^{T}&*&*&*\\M^{T}+ZC+XA&M^{T}+M&*&*\\B^{T}R+D^{T}Z^{T}&B^{T}X+D^{T}Z^{T}&-\gamma I&*\\L-D_{f}C&-N&-D_{f}D&-\gamma I\end{bmatrix}}&<0\\\end{aligned}}$

结论

要找到相应的滤波器，可以使用解中优化后的矩阵来找到

$A_{f}=X^{-1}M,B_{f}=X^{-1}Z,C_{f}=N,D_{f}=D_{f}$

然后可以使用这些矩阵来生成 ${\tilde {A}},{\tilde {B}},{\tilde {C}},{\tilde {D}}$ 来构建上面描述的过滤器，它将最有效地消除系统的干扰。

实现

此实现需要 Yalmip 和 Sedumi。

https://github.com/rezajamesahmed/LMImatlabcode/blob/master/hinf_filtering.m

相关 LMI

H-2_filtering

外部链接

此 LMI 来自

• [1] - “控制系统中的 LMI：分析、设计与应用” 作者：段广仁和余海华

其他资源

• 控制中的 LMI 方法 - 由马修·皮特教授的关于 LMI 在控制中的课程。
• LMI 属性及其在系统、稳定性和控制理论中的应用 - 由瑞安·卡弗里和詹姆斯·福布斯提供的 LMI 列表。
• 系统和控制理论中的 LMI - 斯蒂芬·博伊德教授撰写的关于 LMI 的可下载书籍。

参考文献

段，G. (2013)。控制系统中的 LMI：分析、设计与应用。博卡拉顿：CRC 出版社，泰勒与弗朗西斯集团。