控制中的LMI/页面/H2条带区域

具有最小$H_{2}$增益的不敏感条带区域设计

在设计具有不敏感区域条件的控制器时，目标是将系统的闭环极点放置在由其内边界定义的特定区域中。这些区域根据其对系统参数矩阵扰动的敏感性来指定。

这种设计的一种类型是不敏感条带区域设计。在本节中，在此基础上，将提供一些优化问题，以确保满足不敏感条带区域设计的条件，同时对闭环系统的$H_{2}$增益进行一些约束。

系统

线性系统的状态空间表示如下所示

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)\end{aligned}}$

其中$x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$，$y(t)\in \mathbb {R} ^{m}$和$u(t)\in \mathbb {R} ^{r}$分别是系统状态、输出和输入向量。

数据

为了解决设计优化问题，需要线性系统矩阵A、B、C。此外，为了在特征值空间上定义条带区域，需要两个参数$\gamma _{1}$和$\gamma _{2}$。

优化问题

设计一个$H_{2}$最优控制器，使闭环系统对某个条带区域不敏感，涉及两个子问题

• 找到一个控制增益$K$，使得：$\left\|K\right\|_{2}<\gamma$。
• 闭环系统的不敏感条带区域设计条件，如不敏感条带区域设计章节中所述，得到满足。
• 优化目标是最小化$\gamma$，使得上述两个条件成立。

LMI： $H_{2}$用于不敏感条带区域的最优控制设计

上述问题有解当且仅当以下优化问题有解$(K,\gamma )$

${\begin{aligned}{\text{min }}&\gamma \\{\text{s.t. }}&{\begin{bmatrix}-\gamma I&K\\K^{\top }&-\gamma I\end{bmatrix}}<0\\&2\gamma _{1}I<(A+BKC)^{\top }+(A+BKC)<2\gamma _{2}I\end{aligned}}$

结论

通过使用此处提供的设计问题，设计了一个最优的$H_{2}$控制器，使闭环系统对系统矩阵中的扰动具有鲁棒性。

实现

为了解决此处提出的LMI优化问题，需要使用YALMIP工具箱来建立可行性问题，并使用SeDuMi来求解问题。以下链接展示了一个可行性问题的示例。

https://github.com/smhassaan/LMI-Examples/blob/master/H2_Strip_example.m

相关LMI

不敏感带状区域设计

外部链接

记录和验证LMI的一系列参考文献。

• 控制系统中的LMI：分析、设计与应用 - 由段广仁和于海华著，CRC出版社，泰勒和弗朗西斯集团，2013年，第10.1.1节，第322-323页。