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不敏感条带区域设计

假设如果有人对鲁棒稳定感兴趣，其中闭环特征值被放置在复平面的特定区域，而该区域具有对系统参数矩阵的扰动不敏感的内部边界。这将借助两种设计问题来完成：不敏感条带区域设计和不敏感圆盘区域设计（有关后者的链接，请参见下面的链接）。

系统

假设我们考虑以下需要控制的连续时间线性系统

{\begin{aligned}{\begin{cases}{\dot {x}}&=Ax+Bu,\\y&=Cx\\\end{cases}}\end{aligned}}

其中 $x\in \mathbb {R} ^{n}$ ， $y\in \mathbb {R} ^{m}$ ，以及 $u\in \mathbb {R} ^{r}$ 分别是状态，输出和输入向量。然后，获得不敏感条带区域设计LMI的步骤如下所示。

在获得LMI之前，我们需要以下矩阵： $A$ ， $B$ ，以及 $C$ 。

考虑上述线性系统以及两个标量 $\gamma _{1}$ 和 $\gamma _{2}$ 。然后，输出反馈控制律 $u=Ky$ 将使得 ${\gamma _{1}}<{\lambda _{i}}(A_{c}^{s})<{\gamma _{1}}$ ，其中

{\begin{aligned}{A_{c}^{s}}&\triangleq {\frac {1}{2}}{\langle {A_{c}}\rangle _{s}}={\frac {{(A+BKC)^{T}}+(A+BKC)}{2}}\\\end{aligned}}

令 $K$ 是上述问题的解，那么

{\begin{aligned}{\gamma _{1}}&<{\alpha _{1}}\leq {Re({\lambda _{i}}(A+BKC))\leq {\alpha _{2}}<{\gamma _{2}}},&i=1,2,...,n\\\end{aligned}}

其中

{\begin{aligned}{\begin{cases}{\alpha _{1}}&={\lambda _{min}}({A_{c}^{s}})\\{\alpha _{2}}&={\lambda _{max}}({A_{c}^{s}})\\\end{cases}}\end{aligned}}

利用以上信息，我们可以通过设置 $\gamma _{1}$ 为 $-\infty$ 来简化问题，在所有实际应用中都是如此。这样就简化了我们的问题，并得到以下 LMI

{\begin{aligned}{\begin{cases}{\text{min }}\gamma \\{\text{s.t. }}{(A+BKC)^{T}}+(A+BKC)<{\gamma }I\\\end{cases}}\end{aligned}}

如果上述 LMI 的解产生了一个负数 $\gamma$ ，则输出反馈控制器 $K$ 是 Hurwitz 稳定的。然而，如果 $\gamma$ 是一个非常小的正数，那么 ${\alpha _{2}}=\lambda _{max}(A_{c}^{s})$ 必须为负数才能使控制器稳定。

示例代码 - 一个包含代码 (名为 "InsensitiveStripRegion.m") 的 GitHub 链接，该代码演示了如何使用 MATLAB-YALMIP 实现该 LMI。

记录和验证该 LMI 的参考文献列表。