控制中的 LMI / pages / H2 带状区域

具有最小 $H_{2}$ 增益的不敏感带状区域设计

在设计具有不敏感区域条件的控制器时，目标是将系统的闭环极点放置在由其内边界定义的特定区域中。这些区域根据其对系统参数矩阵扰动的敏感性来指定。

这类设计的一种是 不敏感带状区域设计。在本节中，在此基础上，将提供优化问题，以确保满足不敏感带状区域设计的条件，同时对闭环系统的 $H_{2}$ 增益进行一些限制。

系统

如下所示的线性系统的状态空间表示

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)\end{aligned}}$

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$，$y(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ 和 $u(t)\in \mathbb {R} ^{r}$ 分别是系统的状态、输出和输入向量。

数据

为了解决设计优化问题，需要线性系统矩阵 *A,B,C*。此外，为了在特征值空间中定义带状区域，需要两个参数 $\gamma _{1}$ 和 $\gamma _{2}$。

优化问题

设计一个产生闭环系统对特定带状区域不敏感的 $H_{2}$ 最优控制器的問題包含两个子问题

• 找到一个控制增益 $K$ 使得：$\left\|K\right\|_{2}<\gamma$.
• 闭环系统的不敏感带状区域设计条件，如 *不敏感带状区域设计* 部分提供，已得到满足。
• 优化目标是最小化 $\gamma$，使得上述两个条件成立。

LMI： $H_{2}$ 针对不敏感带区域的最优控制设计

上述问题有解当且仅当以下优化问题有解 $(K,\gamma )$

${\begin{aligned}{\text{min }}&\gamma \\{\text{s.t. }}&{\begin{bmatrix}-\gamma I&K\\K^{\top }&-\gamma I\end{bmatrix}}<0\\&2\gamma _{1}I<(A+BKC)^{\top }+(A+BKC)<2\gamma _{2}I\end{aligned}}$

结论

利用这里给出的设计问题，设计了最优 $H_{2}$ 控制器，使闭环系统对系统矩阵中的扰动具有鲁棒性。

实现

要解决这里提出的LMI优化问题，需要使用YALMIP工具箱来建立可行性问题，并且需要使用SeDuMi来解决问题。以下链接展示了可行性问题的一个示例。

https://github.com/smhassaan/LMI-Examples/blob/master/H2_Strip_example.m

相关LMI

不敏感带区域设计

外部链接

列出了记录和验证LMI的参考资料。

• 控制系统中的LMI：分析、设计与应用 - 作者：段广仁、于海华，CRC出版社，泰勒与弗朗西斯集团，2013年，第10.1.1节，第322-323页。