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H₂ 索引推导出的 LMI

尽管有一些方法可以评估 H₂ 的上限，但可以通过推导出的条件来验证 H₂ 增益的界限。

系统

我们考虑具有 $(A,B,C,D)$ 状态空间实现的广义连续时间 LTI 系统

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)\end{aligned}}$

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$、$y(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ 和 $u(t)\in \mathbb {R} ^{r}$ 分别是系统状态、输出和输入向量。
此类系统的传递函数可以计算为

${\begin{aligned}G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D\end{aligned}}$

数据

系统矩阵 $A,B,C$ 是已知的。

优化问题

对于任意 $\gamma >0$（给定标量），传递函数满足

$\left\|C(sI-A)^{-1}B+D\right\|_{2}<\gamma$

传递函数上的H₂ 范数条件仅在矩阵 A 稳定时成立。这可以方便地转换为 LMI 问题

当且仅当 1. 存在一个对称矩阵 $X>0$ 使得
$AX+XA^{T}+BB^{T}<0$，$trace(CXC^{T})<\gamma ^{2}$

2. 存在一个对称矩阵 $Y>0$ 使得
$AY+YA^{T}+C^{T}C<0$, $trace(B^{T}YB)<\gamma ^{2}$

LMI - H2 范数推导条件

这些推导条件可以从上面的方程中得到。根据

对于任意 $\gamma >0$（给定标量），传递函数满足

$\left\|G(s)\right\|_{2}<\gamma$

当且仅当存在对称矩阵 $Z$ 和 $P$；以及一个矩阵 $V$ 使得
$trace(Z)<\gamma ^{2}$
${\begin{bmatrix}-Z&B^{T}\\B&-P\end{bmatrix}}$${\begin{aligned}<0\end{aligned}}$
${\begin{bmatrix}-(V+V^{T})&V^{T}A^{T}+P&V^{T}C^{T}&V^{T}\\AV+P&-P&0&0\\CV&0&-I&0\\V&0&0&-P\end{bmatrix}}$${\begin{aligned}<0\end{aligned}}$

上面的 LMI 可以结合二分法来找到最小值 $\gamma$ 来找到 $G(s)$ 的 H₂ 增益的最小上限。

结论

如果上述 LMI 有可行解，那么 $\gamma$ 将对系统 G(s) 的范数进行上限约束。

实现

为了解决可行性 LMI，需要使用 YALMIP 工具箱来设置问题，还需要使用 SeDuMi 或 MOSEK 来解决问题。以下链接展示了问题的示例

https://github.com/yashgvd/ygovada

相关 LMI

有界实部引理
推导出的用于 H 无限范数指标的 LMI

外部链接

文档化和验证 LMI 的参考文献列表。

• [1] - 控制系统分析、设计和应用中的 LMI
• 最优和鲁棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 关于控制中 LMI 的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 编写的 LMI 列表。