控制中的LMI/pages/H 稳定

$\mathbb {H} _{(\alpha ,\beta )}$ - 稳定

存在各种各样的控制设计问题，这些问题以各种不同的方式解决。最重要的控制设计问题之一是状态反馈稳定问题。一种这样的状态反馈问题，也是本文的重点，是 $\mathbb {H} _{(\alpha ,\beta )}$ - 稳定，一种 $\mathbb {D}$ - 稳定，其中实部位于复平面左侧。

系统

对于这个特定问题，假设我们给定一个线性系统，形式为

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+Bu,\\\end{aligned}}

其中 $x\in \mathbb {R} ^{n}$ 和 $u\in \mathbb {R} ^{r}$ 。那么，确定 $\mathbb {H} _{(\alpha ,\beta )}$ - 稳定情况的LMI将按以下描述获得。

为了获得LMI，我们需要以下2个矩阵： $A{\text{ and }}B$ .

假设 - 对于上面给定的线性系统 - 我们被要求设计一个状态反馈控制律，其中 $u=Kx$ 使得闭环系统

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=(A+BK)x\\\end{aligned}}

是 $\mathbb {H} _{(\alpha ,\beta )}$ 稳定的，那么系统将按如下方式稳定。

从给定的信息中可以看出，优化问题只有在存在矩阵 $W$ 和一个对称矩阵 $P>0$ 满足以下条件时，才存在解。

{\begin{aligned}{\begin{cases}AP+P{A^{T}}+BW+{W^{T}}{B^{T}}+2{\alpha }P&<0\\-AP-P{A^{T}}-BW-{W^{T}}{B^{T}}-2{\beta }P&<0\end{cases}}\end{aligned}}

给定所得控制器矩阵 $K=WX^{-1}$ ，可以观察到该矩阵是 $\mathbb {H} _{(\alpha ,\beta )}$ -稳定的。

记录和验证LMI的参考文献列表。