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$\mathbb {D} _{(q,r)}$-稳定化

有各种各样的控制设计问题，它们以各种不同的方式得到解决。最主要的控制设计问题之一就是状态反馈稳定化问题。其中一个状态反馈问题，也是本文的重点，就是$\mathbb {D} _{(q,r)}$-稳定化，它是一种$\mathbb {D}$-稳定化，其中闭环极点位于复平面的左半部分。

系统

对于这个问题，假设我们给出了一个线性系统，形式如下：

${\begin{aligned}\rho x&=Ax+Bu,\\\end{aligned}}$

其中$x\in \mathbb {R} ^{n}$，$u\in \mathbb {R} ^{r}$，并且$\rho$代表微分算子（在连续时间情况下）或单步前向算子（在离散时间系统情况下）。然后，用于确定$\mathbb {D} _{(q,r)}$-稳定化情况的LMI将如以下所述获得。

数据

为了获得LMI，我们需要以下两个矩阵：$A{\text{ and }}B$.

优化问题

假设 - 对于上面给出的线性系统 - 我们被要求设计一个状态反馈控制律，其中$u=Kx$，使得闭环系统

${\begin{aligned}\rho x&=(A+BK)x\\\end{aligned}}$

如果系统是 $\mathbb {D} _{(q,r)}$-稳定的，则系统可以按如下方式稳定。

LMI： $\mathbb {D} _{(q,r)}$-稳定化

从给定的信息可以看出，只有当存在矩阵 $W$ 和一个对称矩阵 $P$ 满足以下条件时，优化问题才存在解。

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-rP&&qP+AP+BW\\qP+PA^{T}+{W^{T}}{B^{T}}&&-rP\end{bmatrix}}<0\end{aligned}}$

结论

给定得到的控制器矩阵 $K=WP^{-1}$，可以观察到该矩阵是 $\mathbb {D} _{(q,r)}$-稳定的。

实现

• 示例代码 - 一个GitHub链接，其中包含代码（名为“DStability.m”），演示了如何使用MATLAB-YALMIP实现此LMI。

相关LMI

• H稳定化 - $\mathbb {H} _{(\alpha ,\beta )}$-稳定化的等效LMI。
• 连续时间D稳定控制器 - 使用D稳定性推导控制器的LMI。
• 连续时间D稳定观测器 - 使用D稳定性推导观测器的LMI。

外部链接

记录和验证LMI的参考文献列表。

• 最优与鲁棒控制中的LMI方法 - Matthew Peet关于控制中LMI的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的LMI性质与应用 - Ryan Caverly和James Forbes编写的LMI列表。
• 系统与控制理论中的LMI - Stephen Boyd编写的可下载书籍，介绍了LMI。
• 控制系统中的LMI：分析、设计与应用 - 由段广仁和于海华合著的书籍。