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优化中的可行性问题 LMI

可行性问题是在不考虑目标值的情况下找到优化问题的任何可行解。这个问题可以被视为优化问题的特例，其中所有可行解的目标值都是相同的。许多优化问题必须从所有可能解范围内的一个可行点开始。一种方法是在问题中添加一个松弛变量，以放宽可行性条件。通过添加松弛变量，任何起点都将成为可行解。然后，优化问题被转换为找到松弛变量的最小值，直到满足可行性。

系统

假设我们有两个矩阵如下

${\begin{aligned}A(x)=A_{0}+A_{1}x_{1}+...+A_{n}x_{n}\quad i=1,2,...,n\end{aligned}}$

${\begin{aligned}B(x)=B_{0}+B_{1}x_{1}+...+B_{n}x_{n}\quad i=1,2,...,n\end{aligned}}$

它们是变量 $x=[x_{1}\quad x_{2}\quad ...\quad x_{n}]^{\text{T}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 的矩阵函数。

数据

假设矩阵 ${\begin{aligned}A_{0},A_{1},...,A_{n}\quad \end{aligned}}$ 和 ${\begin{aligned}B_{0},B_{1},...,B_{n}\quad \end{aligned}}$ 是给定的。

优化问题

优化问题是找到变量 ${\begin{aligned}x=[x_{1}\quad x_{2}...x_{n}]\end{aligned}}$ 使得以下约束得到满足

${\begin{aligned}A(x)<B(x)\end{aligned}}$

LMI：可行性问题的 LMI

通过添加一个松弛变量 $t$，可以将此优化问题转换为标准 LMI 问题。

此问题的数学描述是，以以下 LMI 公式形式最小化 $t$

${\begin{aligned}&{\text{min}}\quad t\\&{\text{s.t.}}\quad A(x)<B(x)+tI\\\end{aligned}}$

结论

在这个问题中，$x$ 和 $t$ 是 LMI 问题的决策变量。

因此，这些变量在优化问题中被确定，使得 $t$ 的最小值在满足不等式约束的情况下被找到。

实施

Github 仓库中此问题的 Matlab 代码链接

https://github.com/asalimil/LMI-for-Feasibility-Problem-of-Convex-Optimization

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线性规划的 LMI

外部链接

• [1] - 控制系统分析、设计与应用中的 LMI

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