控制中的 LMI / 页面 / 用于 Schur 稳定的 LMI

系统

我们考虑以下系统

${\begin{aligned}x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\end{aligned}}$

其中 ${\begin{aligned}x\in \mathbb {R} ^{n}{\text{and}}u\in \mathbb {R} ^{r}\end{aligned}}$ ，分别是状态向量和输入向量。此外，状态反馈控制律定义如下

${\begin{aligned}u(k)=Kx(k)\end{aligned}}$

因此，闭环系统由下式给出

${\begin{aligned}x(k+1)=(A+BK)x(k)\end{aligned}}$

{\begin{aligned}{\text{Given matrices}}\quad A\in \mathbb {R} ^{n\times n}{\text{,}}\quad B\in \mathbb {R} ^{n\times r}\quad {\text{, and the scalar}}\quad 0<\gamma \leq 1.\end{aligned}}

找到一个矩阵 ${\begin{aligned}K\in \mathbb {R} ^{r\times n}\end{aligned}}$ 使得

${\begin{aligned}||A+BK||_{2}<\gamma \end{aligned}}$

根据矩阵谱范数的定义，这个条件等价于

${\begin{aligned}(A+BK)^{T}(A+BK)<\gamma ^{2}I\end{aligned}}$

可以使用[1]第14页的引理1.2，上述不等式可以转化为

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-\gamma I&(A+BK)\\(A+BK)^{T}&-\gamma I\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}$

LMI 公式的标题和数学描述。

{\begin{aligned}{\text{min}}\;\quad \gamma :&\\{\text{s.t.}}\quad {\begin{bmatrix}-\gamma I&(A+BK)\\(A+BK)^{T}&-\gamma I\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}

这个问题是密集圆盘区域设计的一个特例（[1] 中第 230 页）。即使系统可稳定，这个问题也可能没有解。换句话说，一旦存在解，解就是鲁棒的，因为当存在参数扰动时，闭环系统的特征值不容易超出单位圆内的圆形区域 [1]。

Github 仓库中此问题的 Matlab 代码链接

记录和验证 LMI 的参考资料列表。