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通过H2控制的LQ调节

假设人们对二次最优调节问题感兴趣，其中不是使用Ricatti方程方法（传统上在这种情况下使用），而是使用LMI来解决问题（从而使其成为线性二次（LQ）问题）。可以通过将LQ问题转换为标准的${H2}$问题来实现这种方法。

系统

例如，考虑以下形式的常数线性多变量系统：

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+Bu,x(0)={x_{0}},\\\end{aligned}}$

其中

${\begin{aligned}&x\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ and }}u\in \mathbb {R} ^{r}{\text{ are the state and input vectors, respectively, and }}\\&A{\text{ and }}B{\text{ are the system coefficient matrices of appropriate dimensions,}}\\\end{aligned}}$

然后，针对给定系统，LQ最优调节问题如下所述。

数据

为了获得LMI，我们需要以下3个矩阵：$A$, $B$, $Q$, 和 $R$（后两个矩阵的获得方式如下）。

优化问题

使用如上所述的多变量系统，我们可以看到，最优状态反馈控制器 $u=Kx$ 可以在以下情况下获得：

${\begin{aligned}J(x,u)&=\int _{0}^{\infty }({x^{T}}Qx+{u^{T}}Ru)\mathrm {d} t\\\end{aligned}}$

当 $Q={Q^{T}}{\geq }0$ 且 $R={R^{T}}{\geq }0$ 时，问题被最小化。然而，需要注意的是，为了使问题有解，需要做出两个假设，这两个假设必须始终成立。

$1)\quad (A,B){\text{ is stabilizable, and}}$

$2)\quad (A,L){\text{ is observable, where }}L={Q^{1/2}}$.

将此与 ${H_{2}}$ 性能联系起来，现在考虑辅助系统。

${\begin{aligned}{\begin{cases}{\dot {x}}&=Ax+Bu+{x_{0}}\omega \\y&=Cx+Du\\\end{cases}}\end{aligned}}$,

其中 $\omega$ 代表脉冲扰动，并且

${\begin{aligned}C={\begin{bmatrix}{Q^{1/2}}\\0\end{bmatrix}}&&D={\begin{bmatrix}0\\{R^{1/2}}\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}$

使用状态反馈控制器 $u=Kx$ 并将其应用于上述辅助系统，得到闭环系统

${\begin{aligned}{\begin{cases}{\dot {x}}&=(A+BK)x+{x_{0}}\omega \\y&=(C+DK)x\\\end{cases}}\end{aligned}}$,

以及从扰动 $\omega$ 到输出 $y$ 的传递函数为

${\begin{aligned}{G_{y\omega }}=(C+DK)[sI-(A+BK)]^{-1}{x_{0}}\end{aligned}}$

从而导致 $J(x,u)=||{G_{y\omega }}||_{2}^{2}$.

LMI: 基于 H2 控制的 LQ 调节

根据给定的信息，并假设上述两个假设成立，则存在矩阵 $X\in \mathbb {S} ^{n}$, $Y\in \mathbb {S} ^{r}$ 和 $W\in \mathbb {R} ^{rxn}$ 满足

${\begin{aligned}(AX+BW)+{(AX+BW)^{T}}+{x_{0}}{x_{0}^{T}}&<0\\trace({Q^{1/2}}X({Q^{1/2}})^{T})+trace(Y)&<\gamma \\{\begin{bmatrix}-Y&&{R^{1/2}}W\\({R^{1/2}}W)^{T}&&-X\end{bmatrix}}&<0\end{aligned}}$

结论

从 LMI 可以看出，存在形式为 $u=Kx$ 的状态反馈控制（其中 $K=WX^{-1}$）使得 $J(x,u)<\gamma$ 当且仅当矩阵 $X{\text{, }}Y{\text{, and }}W$ 具有适当的矩阵大小。

实现

• 示例代码 - 一个 GitHub 链接，包含代码（名为“LQRegH2.m”），演示了如何使用 MATLAB-YALMIP 实现此 LMI。

相关 LMI

• 用于系统 H2 范数的 LMI - 用于确定 $H_{2}$-范数的 LMI。

外部链接

一个文档化和验证 LMI 的参考文献列表。

• 最优控制和鲁棒控制中的 LMI 方法 - 马修·皮特关于 LMI 控制的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用 - 瑞安·卡弗利和詹姆斯·福布斯编写的 LMI 列表。
• 系统与控制理论中的 LMI - 史蒂芬·博伊德编写的关于 LMI 的可下载书籍。
• 控制系统中的 LMI：分析、设计和应用 - 由段广仁和于海华合著的一本书。