控制中的LMI/页面/状态反馈中的最大自然频率

系统

如果多面体模型中的所有子系统都具有相同的矩阵 $B$ ，则检查二次稳定性所需的LMI约束数量将减少。这可以通过在系统输入端添加Apkarian滤波器来实现。

优化问题

Apkarian滤波器

让我们考虑我们的TS-LIA模型。这可以写成线性形式为

{\dot {x}}=A(z(t))x+B(z(t))u

滤波器应该使状态的平衡点为输入值，并且动力学应该很快，因此我们可以假设滤波器的动力学可以忽略不计（即，滤波器的输入等效于四旋翼的输入）。一个可能的滤波器如图所示，其中 $A_{F}$ = −100 $I_{4}$ ， $B_{F}$ = 100 $I_{4}$ 且 $I_{4}$ ∈ $R^{4\times 4}$ 是单位矩阵。

{\dot {x_{F}}}=A_{F}x_{F}+B_{F}u_{F};y_{f}=x_{f}

.

应用滤波器时，我们要求滤波器的输出是TS-LIA模型的新输入（即 $u$ = $y_{F}$ ）。然后，扩展模型为

{\dot {x_{c}}}={\begin{bmatrix}A(z(t))&B(z(t))\\0&A_{F}\\\end{bmatrix}}x_{c}+{\begin{bmatrix}0\\B_{F}\end{bmatrix}}u_{F}=A_{e}(z(t))x_{e}+B_{e}u_{f};x_{e}={\begin{bmatrix}x\\x_{F}\end{bmatrix}}

这种预滤波不会影响获得 TS-LIA 模型所遵循的程序，因此前提变量、隶属函数和激活函数保持不变。

状态反馈控制器设计

考虑扩展 TS-LIA 模型的状态反馈控制律： ${\dot {x_{e}}}=\sum _{i=1}^{32}h_{i}(z(t))[A_{ei}x_{e}+B_{ei}u_{F}]$ ，其中状态反馈控制律为： $u_{F}=\sum _{i=1}^{32}h_{i}(z(t))K_{i}x(t)$ ，得到闭环系统： ${\dot {x_{e}}}=\sum _{i=1}^{32}\sum _{j=1}^{32}h_{j}(z(t))[A_{ei}x_{e}+B_{ei}K_{j}]x_{e}$

LMI

控制器的设计是通过解决一个涉及二次稳定性约束的 LMI 问题来完成的。如果我们想要 D 稳定性，则需要以下 LMI 约束集：

L\otimes P+M\otimes P(A_{ei}+B_{e}K_{i})+MT\otimes (A_{e}i+B_{e}K_{i})^{T}P<0

∀i = 1, . . . , 32.

闭环系统的共轭复极点 s 可以写成 $s$ = − ${\xi }\omega _{n}\pm j\omega _{d}$ ，其中 $\xi$ 是阻尼比， $\omega _{n}$ 是无阻尼固有频率，而 $\omega _{d}$ 是定义为 $\omega _{d}=\omega _{n}$ ${\sqrt {1-\xi ^{2}}}$ 的频率响应。我们考虑了三个不同的 LMI 区域，每个区域都与关于 $\alpha =\xi \omega _{n},\omega _{n}$ 和 $\xi$ 的性能规范相关联。

最大化固有频率

固有频率与无阻尼情况下的最大频率响应相关 ( $\xi$ = 0)。如果我们想设置最大 $\omega _{n}$ 条件，相关的 LMI 区域为 $S_{\rho }$ = [s = x + jy | |x + jy| < $\rho$ ], :: $L_{\rho }={\begin{bmatrix}-{\rho }&0\\0&\rho \end{bmatrix}},M_{\rho }={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}$ 。由此产生的 LMI 条件是

{\begin{bmatrix}-\rho P&P(A_{ei}+B_{ei}K_{i})\\(A_{ei}+B_{ei}K_{i})^{T}P&-\rho P\end{bmatrix}}<0

∀i = 1, . . . , 32。

结论

LMI 是可行的。

参考文献

Control, A. (2016)。使用 Takagi-Sugeno 方法对四旋翼无人机的增益调度控制。

系统

优化问题

LMI

结论

相关 LMI

参考文献