控制中的 LMI / 页面 / 状态反馈中的最小衰减率

控制中的 LMI / 页面 / 状态反馈中的最小衰减率

系统

如果多面体模型中的所有子系统都具有相同的矩阵 $B$，则检查二次稳定性所需的 LMI 约束数量将减少。这可以通过在系统输入处添加 Apkarian 滤波器来实现。

优化问题

Apkarian 滤波器

让我们考虑我们的 TS-LIA 模型。这可以线性地重写为

${\dot {x}}=A(z(t))x+B(z(t))u$

滤波器应该使得状态的平衡点是输入值，并且动态应该很快，所以我们可以假设滤波器的动态可以忽略不计（即滤波器的输入等效于四旋翼的输入）。一种可能的滤波器如图所示，其中 $A_{F}$ = −100$I_{4}$，$B_{F}$ = 100$I_{4}$ 并且 $I_{4}$ ∈ $R^{4\times 4}$ 是单位矩阵。

${\dot {x_{F}}}=A_{F}x_{F}+B_{F}u_{F};y_{f}=x_{f}$.

当应用滤波器时，我们强制滤波器的输出成为 TS-LIA 模型的新输入（即 $u$ = $y_{F}$ )。然后，扩展模型是

${\dot {x_{c}}}={\begin{bmatrix}A(z(t))&B(z(t))\\0&A_{F}\\\end{bmatrix}}x_{c}+{\begin{bmatrix}0\\B_{F}\end{bmatrix}}u_{F}=A_{e}(z(t))x_{e}+B_{e}u_{f};x_{e}={\begin{bmatrix}x\\x_{F}\end{bmatrix}}$

这种预滤波不会影响获得 TS-LIA 模型的过程，因此前提变量、隶属函数和激活函数保持不变。

状态反馈控制器设计

考虑扩展 TS-LIA 模型的状态反馈控制律：${\dot {x_{e}}}=\sum _{i=1}^{32}h_{i}(z(t))[A_{ei}x_{e}+B_{ei}u_{F}]$，其中状态反馈控制律为：$u_{F}=\sum _{i=1}^{32}h_{i}(z(t))K_{i}x(t)$，我们得到闭环系统：${\dot {x_{e}}}=\sum _{i=1}^{32}\sum _{j=1}^{32}h_{j}(z(t))[A_{ei}x_{e}+B_{ei}K_{j}]x_{e}$

LMI

控制器的设计是通过解决涉及二次稳定性约束的 LMI 问题来完成的。如果我们想要 D-稳定，则需要以下一组 LMI 约束

$L\otimes P+M\otimes P(A_{ei}+B_{e}K_{i})+MT\otimes (A_{e}i+B_{e}K_{i})^{T}P<0$ ∀i = 1, . . . , 32.

闭环系统的共轭复极点 s 可以写成 $s$ = − ${\xi }\omega _{n}\pm j\omega _{d}$，其中 $\xi$ 是阻尼比，$\omega _{n}$ 是无阻尼固有频率，$\omega _{d}$ 是频率响应，定义为 $\omega _{d}=\omega _{n}$ ${\sqrt {1-\xi ^{2}}}$。已考虑三个不同的 LMI 区域，每个区域都与关于 $\alpha =\xi \omega _{n},\omega _{n}$ 和 $\xi$ 的性能规范相关。

最小衰减率

如果我们希望在闭环系统响应中设置最小衰减率 α，则极点应该位于以下定义的 LMI 区域内：$S_{\alpha }$ = [s = x + j y | x < − $\alpha$]. 其中 $\alpha$ > 0. 在这种情况下，L$_{\alpha }$ = $2\alpha$ 且 M$_{\alpha }$ = 1。

将条件应用于闭环系统，与该 LMI 区域相关的 LMI 条件为

$2\alpha P+(A_{ei}+B_{e}K_{i})^{T}P+P(A_{ei}+B_{e}K_{i})<0$ ∀i = 1, . . . , 32.

结论

LMI 是可行的。

相关 LMI

• Apkarian 滤波器和状态反馈。 https://wikibooks.cn/wiki/LMIs_in_Control/pages/Apkarian_Filter-and_State_Feedback
• 状态反馈中的最大自然频率 https://wikibooks.cn/wiki/LMIs_in_Control/pages/Maximum_Natural_Frequency_in_State_Feedback#The_LMI%3A

参考文献

• Control, A. (2016). 使用 Takagi-Sugeno 方法对四旋翼进行增益调度控制。