控制中的 LMI/页面/非凸多准则二次问题

控制中的 LMI/页面/非凸多准则二次问题

非凸多准则二次线性矩阵不等式将允许人们为基于多个不同准则（在 Q 和 R 矩阵中定义）的非凸状态空间系统形成一个优化的控制器，类似于 LQR 框架中的控制器，这些准则作为任意成本函数的一部分进行优化。就像传统的 LQR 一样，成本矩阵必须以类似于传统控制中的传统增益的方式进行调整。然而，在 LQR 和 LQG 框架中，增益更直观，因为每个增益都直接与状态或输入相关联。

系统

此 LMI 的系统是一个线性时不变系统，可以用状态空间表示，如下所示

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+Bw,x(0)=x_{0}\\\end{aligned}}$

假设该系统是可控的。

其中 $x\in R^{n}$ 表示状态向量，$w\in R^{p}$ 是扰动向量，$A,B$ 是适当维度的系统矩阵。为了进一步定义：$x$ 是 $\in R^{n}$ 且是状态向量，$A$ 是 $\in R^{n*n}$ 且是状态矩阵，$B$ 是 $\in R^{n*r}$ 且是输入矩阵，$w$ 是 $\in R^{r}$ 且是外生输入。

对于任何输入，我们定义一个集合 $p+1$ 成本指标 $J_{0},...,J_{P}$ 通过

${\begin{aligned}J_{i}(u)=\int _{0}^{\infty }{\begin{bmatrix}x^{T}&u^{T}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}Q_{i}&C_{i}\\C_{i}^{T}&R_{i}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\u\end{bmatrix}}dt,\\i=0,...,p\end{aligned}}$

这里对称矩阵，

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}Q_{i}&C_{i}\\C_{i}^{T}&R_{i}\end{bmatrix}},i=0,...,p\end{aligned}}$,

不一定是正定的。

数据

矩阵 $A,B,C$.

优化问题

约束最优控制问题是

${\begin{aligned}\max :J_{0},\\\end{aligned}}$

受制于

${\begin{aligned}J_{i}\leq \gamma _{i},i=1,...,p,x\rightarrow 0,t\rightarrow \infty \end{aligned}}$

LMI： 非凸多准则二次问题

此问题的解决方案如下：首先定义

${\begin{aligned}Q=Q_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}Q_{i},\\R=R_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}R_{i},\\C=C_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}C_{i},\\\end{aligned}}$

其中 $\tau _{i}\geq 0$ 且对于每个 $\tau _{i}$，我们定义

${\begin{aligned}S=J_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}J_{i}-\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}\gamma _{i}\end{aligned}}$

那么，解可以由以下公式求得：

${\begin{aligned}\max :x(0)^{T}Px(0)-\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}\gamma _{i}\end{aligned}}$

受制于

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}A^{T}P+PA+Q&PQ+C^{T}\\B^{T}P+C&R\end{bmatrix}}&\geq 0\\\tau _{i}&\geq 0\end{aligned}}$

结论

如果解存在，那么 $K$ 是最优控制器，可以通过 P 的 EVP 求解。

实现

此实现需要 Yalmip 和 Sedumi。

https://github.com/rezajamesahmed/LMImatlabcode/blob/master/multicriterionquadraticproblems.m

相关 LMI

1. 多目标 LQG
2. 最优控制的逆问题
3. 非凸多目标二次问题
4. 静态状态反馈问题

外部链接

记录和验证 LMI 的参考列表。

• 最优和鲁棒控制中的 LMI 方法 - 马修·皮特的 LMI 控制课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用 - 瑞安·卡弗利和詹姆斯·福布斯的 LMI 列表。
• 系统与控制理论中的 LMI - 斯蒂芬·博伊德关于 LMI 的可下载书籍。