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正实引理

正实引理是 Kalman-Popov-Yakubovich (KYP) 引理的一个变体。 正实引理可用于确定系统是否为被动 (正实)。

系统

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\\x(0)&=x_{0}\end{aligned}}$

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$，$y(t)\in \mathbb {R} ^{m}$，$u(t)\in \mathbb {R} ^{q}$，在任何 $t\in \mathbb {R}$。

数据

矩阵 $A,B,C,D$ 是已知的。

LMI：正实引理

假设 ${\hat {G}}(s)(A,B,C,D)$ 是该系统。 那么，以下是等价的。

$1)\quad G\;{\text{is passive, i.e.}}\;\left\langle u,Gu\right\rangle _{L_{2}}\geq 0\;({\hat {G}}(s)+{\hat {G}}(s)^{*}\geq 0)$

$2)\quad {\text{There exists a}}\;X>0\;{\text{such that}}$

${\begin{bmatrix}A^{T}X+XA&XB-C^{T}\\B^{T}X-C&-D^{T}-D\end{bmatrix}}\leq 0$

结论

正实引理可以用来判断系统 $G$ 是否是无源的。从 LMI 的 (1,1) 块中我们可以知道 $A$ 是 Hurwitz 矩阵。

实现

该实现需要 Yalmip 和 Sedumi。 https://github.com/eoskowro/LMI/blob/master/Positive_Real_Lemma.m

相关 LMI

KYP 引理 (有界实引理)

外部链接

列出一些文档和验证 LMI 的参考资料。

• 最优与鲁棒控制中的 LMI 方法 - 马修·皮特的关于控制中 LMI 的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用 - 瑞安·卡弗利和詹姆斯·福布斯的 LMI 列表。
• 系统与控制理论中的 LMI - 斯蒂芬·博伊德关于 LMI 的可下载书籍。