控制中的LMI/pages/二次D稳定化

连续时间D稳定控制器

此LMI允许您根据系统性能（如上升时间、稳定时间和超调百分比）将极点放置在特定位置，同时确保系统的稳定性。

系统

假设我们给出了连续时间系统

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\end{aligned}}$

其稳定性未知，其中 $A\in \mathbb {R} ^{mxm}$, $B\in \mathbb {R} ^{mxn}$, $C\in \mathbb {R} ^{pxm}$, 和 $D\in \mathbb {R} ^{qxn}$ 对于任何 $t\in \mathbb {R}$.

向系统添加不确定性

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=(A+A_{i})x(t)+(B+B_{i})u(t)\\\end{aligned}}$

数据

为了正确定义复平面上可接受的极点区域，我们需要以下数据

• 矩阵 $A$, $B$, $A_{i}$, $B_{i}$
• 上升时间 ($t_{r}$)
• 稳定时间 ($t_{s}$)
• 超调百分比 ($M_{p}$)

拥有这些信息将有助于我们制定优化问题。

优化问题

使用上面给出的数据，我们现在可以定义我们的优化问题。为了做到这一点，我们必须首先使用以下不等式约束来定义复平面上可接受的极点区域

上升时间: $\omega _{n}{\leq }{1.8 \over t_{r}}$

稳定时间: $\sigma {\leq }{-4.6 \over t_{s}}$

超调百分比: $\sigma {\leq }{-ln({M_{p}}) \over {\pi }}|{\omega _{d}}|$

假设 $z$ 是复极点位置，那么

${\begin{aligned}{\omega _{n}}^{2}=\|z\|^{2}&=z^{*}z\\{\omega _{d}}=Im{z}&={(z-z^{*}) \over 2}\\{\sigma }=Re{z}&={(z+z^{*}) \over 2}\end{aligned}}$

这使得我们可以修改我们的不等式约束，如下所示

上升时间: $z^{*}z-{1.8^{2} \over {t_{r}}^{2}}{\leq }0$

稳定时间: ${(z+z^{*}) \over 2}+{4.6 \over t_{s}}{\leq }0$

超调百分比: $z-z^{*}+{{\pi } \over ln({M_{p}})}|z+z^{*}|{\leq }0$

这不仅使我们能够映射复极点位置和不等式约束之间的关系，而且还使我们能够轻松地为这个问题制定 LMI。

LMI: 二次 D 稳定化的 LMI

假设存在 $X>0$ 和 $Z$ 使得

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-rP&&AP+BZ\\(AP+BZ)^{T}&&-rP\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&&A_{i}P+B_{i}Z\\(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}&&0\end{bmatrix}}<0\\AP+BZ+(AP+BZ)^{T}+A_{i}P+B_{i}Z+(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}+2\alpha P&<0,and\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}AP+BZ+(AP+BZ)^{T}&&c(AP+BZ-(AP+BZ)^{T})\\c((AP+BZ)^{T}-(AP+BZ))&&AP+BZ+(AP+BZ)^{T}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}A_{i}P+B_{i}Z+(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}&&c(A_{i}P+B_{i}Z-(A_{i}P+B_{i}Z)^{T})\\c((A_{i}P+B_{i}Z)^{T}-(A_{i}P+B_{i}Z))&&A_{i}P+B_{i}Z+(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}$

for $i=1,...,k$

结论

给定得到的控制器 $K=ZP^{-1}$，我们现在可以确定 $A(\Delta )+B(\Delta )K$ 的极点位置 $z\in \mathbb {C}$ 满足不等式约束 $|x|{\leq }r$，$Re(x){\leq }-{\alpha }$ 和 $z+z^{*}{\leq }-c|z-z^{*}|$，对于所有 $\,\Delta \,\in \,C_{0}(\Delta _{1},...,\Delta _{k})$

实现

这个 LMI 的实现需要 Yalmip 和 Sedumi https://github.com/JalpeshBhadra/LMI/blob/master/quadraticDstabilization.m

相关 LMI

• 连续时间 D 稳定观测器 - 连续时间观测器的等效 D 稳定 LMI。

外部链接

• 最优与鲁棒控制中的 LMI 方法 - 马修·皮特关于控制中 LMI 的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用 - 瑞安·卡弗利和詹姆斯·福布斯关于 LMI 的列表。
• 系统与控制理论中的 LMI - 斯蒂芬·博伊德关于 LMI 的可下载书籍。