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连续时间D稳定观测器

类似于D稳定控制器，也存在一些控制问题，人们希望设计一个D稳定观测器，其极点位于复平面的特定区域，同时确保其稳定性。

系统

假设我们得到了一个连续时间系统

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\end{aligned}}$

其稳定性未知，其中$A\in \mathbb {R} ^{mxm}$, $B\in \mathbb {R} ^{mxn}$, $C\in \mathbb {R} ^{pxm}$, 以及$D\in \mathbb {R} ^{qxn}$ 对于任何$t\in \mathbb {R}$。然后，通过控制器$u(t)=Ly(t)$可以实现同时稳定上述系统并确保极点位于其所需位置的控制器。

数据

为了正确定义复平面上极点的可接受区域，我们需要以下数据

• 矩阵$A$和$C$
• 上升时间($t_{r}$)
• 稳定时间($t_{s}$)
• 过冲百分比($M_{p}$)

拥有这些信息将有助于我们制定优化问题。

优化问题

使用上面给出的数据，我们现在可以定义我们的优化问题。为此，我们必须首先使用以下不等式约束来定义复平面上极点可以位于的可接受区域

上升时间：$\omega _{n}{\leq }{1.8 \over t_{r}}$

稳定时间：$\sigma {\leq }{-4.6 \over t_{s}}$

过冲百分比：$\sigma {\leq }{-ln({M_{p}}) \over {\pi }}|{\omega _{d}}|$

假设$z$是复极点位置，那么

${\begin{aligned}{\omega _{n}}^{2}=\|z\|^{2}&=z^{*}z\\{\omega _{d}}=Im{z}&={(z-z^{*}) \over 2}\\{\sigma }=Re{z}&={(z+z^{*}) \over 2}\end{aligned}}$

这使得我们可以修改我们的不等式约束为

上升时间：$z^{*}z-{1.8^{2} \over {t_{r}}^{2}}{\leq }0$

稳定时间：${(z+z^{*}) \over 2}+{4.6 \over t_{s}}{\leq }0$

过冲百分比：$z-z^{*}+{{\pi } \over ln({M_{p}})}|z+z^{*}|{\leq }0$

这不仅使我们能够映射复极点位置和不等式约束之间的关系，而且现在也使我们能够轻松地为这个问题制定LMI。

LMI：连续时间观测器D稳定性

牢记以上不等式，我们观察到以下内容

假设现在存在一个对称矩阵$P>0$和矩阵$Z$，我们现在可以确定观测器的以下LMI

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-rP&&(PA+ZC)^{T}\\PA+ZC&&-rP\end{bmatrix}}&<0\\(PA+ZC)^{T}+PA+ZC+2\alpha P&<0,and\\{\begin{bmatrix}(PA+ZC)^{T}+PA+ZC&&c((PA+ZC)^{T}-(PA+ZC))\\c((PA+ZC)-(PA+ZC)^{T})&&(PA+ZC)^{T}+(PA+ZC)\end{bmatrix}}&<0\end{aligned}}$

结论

给定得到的观测器$L=P^{-1}Z$，我们现在可以确定$A+LC$的极点位置$z\in \mathbb {C}$满足不等式约束$|x|{\leq }r$，$Re(x){\leq }-{\alpha }$ 和 $z+z^{*}{\leq }-c|z-z^{*}|$。

实现

• 示例代码 - 一个 GitHub 链接，其中包含代码（标题为“ObserverDStability.m”），演示了如何使用 MATLAB-YALMIP 实现此 LMI。

相关 LMI

• 连续时间 D-稳定控制器 - 连续时间控制器的等效 D-稳定性 LMI。
• D 稳定 - 用于$\mathbb {D} _{(q,r)}$-稳定的 LMI。

外部链接

• 最优与鲁棒控制中的 LMI 方法 - 马修·皮特教授关于控制中 LMI 的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用 - 瑞安·卡弗里和詹姆斯·福布斯编制的一份 LMI 列表。
• 系统和控制理论中的 LMI - 斯蒂芬·博伊德撰写的一本关于 LMI 的可下载书籍。