控制中的LMI/页面/二次多面体稳定

二次多面体稳定控制器综合可以使用此LMI完成，需要有关$A$,$\Delta _{A(t)}$ ,$B$ 和$\Delta _{B(t)}$ 矩阵的信息。

系统

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t),\\x(0)&=x_{0},\end{aligned}}$

其中$x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$, $u(t)\in \mathbb {R} ^{m}$，在任何$t\in \mathbb {R}$。
该系统包含以下形式的不确定性

${\begin{aligned}\Delta _{A(t)}=A_{1}\delta _{1}(t)+....+A_{k}\delta _{k}(t)\\\Delta _{B(t)}=B_{1}\delta _{1}(t)+....+B_{k}\delta _{k}(t)\\\end{aligned}}$

其中 $x\in \mathbb {R} ^{m}$,$u\in \mathbb {R} ^{n}$,$A\in \mathbb {R} ^{mxm}$ 以及 $B\in \mathbb {R} ^{mxn}$

数据

这个 LMI 所需的矩阵是 $A$,$\Delta _{A(t)}\,ie\,A_{i}$ ，$B$ 以及 $\Delta _{B(t)}\,ie\,B_{i}$

优化和 LMI：使用多面体二次稳定性定理的控制器综合 LMI

存在一个 K 使得

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=(A+\Delta _{A}+(B+\Delta _{B})K)x(t)\\\end{aligned}}$

对于 $(\Delta _{A},\Delta _{B})\in C_{0}((A_{1},B_{2}),...,(A_{k},B_{k}))$ 是二次稳定的，当且仅当存在一个 P>0 和 Z 使得

${\begin{aligned}(A+A_{i})P+P(A+A_{i})^{T}+(B+B_{i})Z+Z^{T}(B+B_{i})^{T}<0\quad for\quad i=1,...k.\end{aligned}}$

结论

控制器增益矩阵提取为 $K=ZP^{-1}$
注意，这里的控制器不依赖于 $\Delta$

• 如果你希望 K 依赖于 $\Delta$ ，问题就更难了。
• 但这将需要实时感知 $\Delta$ 。

实现

此实现需要 Yalmip 和 Sedumi。 https://github.com/JalpeshBhadra/LMI/blob/master/quadraticpolytopicstabilization.m

相关 LMI

二次多面体 $H_{\infty }$ 控制器
二次多面体 $H_{2}$ 控制器

外部链接

• 最优与鲁棒控制中的 LMI 方法 - 由 Matthew Peet 编写的关于控制中 LMI 的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 性质和应用 - 由 Ryan Caverly 和 James Forbes 编写的 LMI 列表。
• 系统与控制理论中的 LMI - 由 Stephen Boyd 编写的关于 LMI 的可下载书籍。