控制中的 LMI/页面/鲁棒 H 无穷大 状态反馈控制

鲁棒全状态反馈最优 $H_{\infty }$ 控制

加性不确定性

全状态反馈是一种控制技术，它将给定系统的闭环系统极点置于由所需性能规范指定的位置。可以使用 $H_{\infty }$ 方法将此转换为优化问题，目标是最大程度地减少闭环系统中不确定扰动的影响，同时保持系统稳定性。这是通过最小化 $H_{\infty }$ 不确定闭环系统的范数来完成的，这最大程度地减少了系统扰动或扰动的最坏情况影响。这可以针对单输入单输出 (SISO) 或多输入多输出 (MIMO) 系统完成。这里我们考虑具有加性不确定性的 MIMO 系统的情况。

系统

考虑以下具有不确定性的线性系统

${\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(A+{\Delta }A)&(B_{1}+{\Delta }B_{1})&B_{2}\\C&D_{1}&D_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\u\\w\end{bmatrix}}$

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ 是状态，$z(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ 是输出，$w(t)\in \mathbb {R} ^{p}$ 是外生输入或扰动向量，以及 $u(t)\in \mathbb {R} ^{r}$ 是执行器输入或控制向量，在任何 $t\in \mathbb {R}$

${\Delta }A$ 和 ${\Delta }B_{1}$ 是实值矩阵，表示以下形式的时间变化参数不确定性

${\begin{bmatrix}{\Delta }A&{\Delta }B_{1}\end{bmatrix}}=HF{\begin{bmatrix}E_{1}&E_{2}\end{bmatrix}}$

其中

$H,E_{1},E_{2}$ 是已知矩阵，具有适当的维数，而 $F$ 是满足以下条件的不确定参数矩阵：$F^{T}F\leq I$

对于加性扰动：${\Delta }A={\delta }_{1}A_{1}+{\delta }_{2}A_{2}+...+{\delta }_{k}A_{k}$

其中

$A_{i},i=1,2,...k$ 是已知的系统矩阵，并且

${\delta }_{i},i=1,2,...k$ 是满足 $\vert {\delta }_{i}\vert <r_{i},i=1,2,...,k$ 的扰动参数

因此，${\Delta }A=HFE$ 其中

$H={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&...&A_{k}\end{bmatrix}}$

$E=(\sum _{i=1}^{k}r_{i}^{2})^{1/2}$

$F=(\sum _{i=1}^{k}r_{i}^{2})^{-1/2}{\begin{bmatrix}{\delta }_{1}I\\{\delta }_{2}I\\\vdots \\{\delta }_{k}I\end{bmatrix}}$

数据

$A$，$B_{1}$，$B_{2}$，$C$，$D_{1}$，$D_{2}$，$E_{1}$，$E_{2}$，${\gamma }$ 是已知的。

LMI: 全状态反馈最优 $H_{\infty }$ 控制LMI

存在 $X>0$ 和 $W$ 以及标量 ${\alpha }$ 使得

${\begin{bmatrix}{\Psi }(X,W)&B_{2}&(CX+D_{1}W)^{T}&(E_{1}X+E_{2}W)^{T}\\B_{2}^{T}&-{\gamma }I&D_{2}^{T}&0\\CX+D_{1}W&D_{2}&-{\gamma }I&0\\E_{1}X+E_{2}W&0&0&-{\alpha }I\end{bmatrix}}<0$.

其中 ${\Psi }(X,W)=(AX+B_{1}W)_{s}+{\alpha }HH^{T}$

然后 $K=WX^{-1}$.

结论

一旦从上面的优化 LMI 中找到 K，就可以将其代入状态反馈控制律 $u(t)=Kx(t)$ 以找到如以下所示的稳健稳定的闭环系统

${\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(A+{\Delta }A)+(B_{1}+{\Delta }B_{1})K&B_{2}\\(C+D_{1})K&D_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\w\end{bmatrix}}$

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ 是状态，$z(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ 是输出，$w(t)\in \mathbb {R} ^{p}$ 是外源输入或扰动向量，而 $u(t)\in \mathbb {R} ^{r}$ 是执行器输入或控制向量，在任何 $t\in \mathbb {R}$

最后，系统的传递函数表示如下

$G_{zw}(s)=(C+D_{1}K)(sI-[(A+{\Delta }A)+(B_{1}+{\Delta }B_{1})K])^{-1}B_{2}+D_{2}$

实施

此实施需要 Yalmip 和 Sedumi。 https://github.com/rubindan/LMIcontrol/blob/master/HinfFilter.m

相关 LMI

全状态反馈最优 H_inf LMI

外部链接

• 最优控制和鲁棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 关于 LMI 在控制中的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 的 LMI 列表。
• 系统和控制理论中的 LMI - Stephen Boyd 关于 LMI 的可下载书籍。
• 控制系统中的 LMI：分析、设计和应用 - 由段广仁和余海华著，CRC 出版社，泰勒和弗朗西斯集团，2013 年。

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控制中的 LMI： https://wikibooks.cn/wiki/LMIs_in_Control