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Schur 稳定性的 LMI

与连续时间系统的稳定性类似，可以分析离散时间系统的稳定性。如果离散时间系统的特征方程的所有根都位于开单位圆内，则该系统被称为稳定。这为离散时间线性系统的稳定性提供了一个条件，具有此性质的线性时不变系统被称为 Schur 稳定系统。

系统

我们考虑以下系统

${\begin{aligned}x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\end{aligned}}$

其中矩阵 $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$、$B\in \mathbb {R} ^{n\times r}$、$x\in \mathbb {R} ^{n}$ 和 $u\in \mathbb {R} ^{r}$ 分别是状态矩阵、输入矩阵、状态向量和输入向量。

此外，$k$ 表示离散时间系统中的时间，$k+1$ 是下一个时间步。

状态反馈控制律定义如下

${\begin{aligned}u(k)=Kx(k)\end{aligned}}$

其中 $K\in \mathbb {R} ^{n\times r}$ 是控制器增益。因此，闭环系统由下式给出

${\begin{aligned}x(k+1)=(A+BK)x(k)\end{aligned}}$

数据

矩阵 $A$ 和 $B$ 是给定的。

我们将标量定义为 $\gamma$，其范围为 $0<\gamma \leq 1$.

优化问题

优化问题是找到一个矩阵 ${\begin{aligned}K\in \mathbb {R} ^{r\times n}\end{aligned}}$ 使得

${\begin{aligned}||A+BK||_{2}<\gamma \end{aligned}}$

根据矩阵谱范数的定义，此条件等价于

${\begin{aligned}(A+BK)^{T}(A+BK)<\gamma ^{2}I\end{aligned}}$

使用 控制系统分析、设计与应用中的 LMI （第 14 页）中的引理 1.2，上述不等式可以转换为

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-\gamma I&(A+BK)\\(A+BK)^{T}&-\gamma I\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}$

LMI： 用于 Schur 稳定化的 LMI

用于 Schur 稳定化的 LMI 可以写成标量 $\gamma$ 的最小化，在以下约束条件下

${\begin{aligned}&{\text{min}}\quad \gamma \\&{\text{s.t.}}\quad {\begin{bmatrix}-\gamma I&(A+BK)\\(A+BK)^{T}&-\gamma I\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}$

结论

在求解 LMI 问题后，我们得到控制器增益 $K$ 和最小化的参数 $\gamma$。这个问题是密集圆盘区域设计的一个特例（[1] 中第 230 页）。即使系统可稳定化，这个问题也可能没有解。换句话说，一旦存在解，该解是鲁棒的，因为当存在参数扰动时，闭环系统的特征值不容易跑到单位圆内的圆区域之外 [1]。

实现

Github 仓库中此问题的 Matlab 代码链接

https://github.com/asalimil/LMI-for-Schur-Stability

相关 LMI

用于 Hurwitz 稳定性的 LMI

外部链接

• [1] - 控制系统分析、设计与应用中的 LMI

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