控制中的 LMI/pages/mixedhinfh2desiredpole

混合 $H_{2}/H_{\infty }$ 控制器，带所需极点位置

混合 $H_{2}/H_{\infty }$ 输出反馈控制已被认为是多目标最优控制问题的一个例子。在这个问题中，控制反馈应该对几个规范做出适当的响应。在 $H_{2}/H_{\infty }$ 控制器中， $H_{\infty }$ 通道用于提高设计的鲁棒性，而 $H_{2}$ 通道保证了系统的良好性能，并且使用附加约束将极点置于所需位置。

系统

我们考虑线性系统的以下状态空间表示

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+B_{1}u+B_{2}w\\z_{\infty }&=C_{\infty }+D_{\infty 1}u+D_{\infty 2}w\\z_{2}&=C_{2}x+D_{21}u\end{aligned}}$

其中

$x\in \mathbb {R} ^{n}$ ， $z_{2},z_{\infty }\in \mathbb {R} ^{m}$ 分别是状态向量和输出向量

$w\in \mathbb {R} ^{p}$ ， $u\in \mathbb {R} ^{r}$ 是扰动向量和控制向量

$A$ , $B_{1}$ , $B_{2}$ , $C_{\infty }$ , $C_{2}$ , $D_{\infty 1}$ , $D_{\infty 2}$ , and $D_{21}$ 是适当维数的系统系数矩阵

数据

我们假设工厂的四个矩阵， $A$ , $B_{1}$ , $B_{2}$ , $C_{\infty }$ , $C_{2}$ , $D_{\infty 1}$ , $D_{\infty 2}$ , 和 $D_{21}$ 是给定的。

优化问题

对于具有以下反馈律的系统
$u=Kx$
可以得到闭环系统
${\begin{aligned}{\dot {x}}&=(A+B_{1}K)x+B_{2}w\\z_{\infty }&=(C_{\infty }+D_{\infty 1}K)x+D_{\infty 2}w\\z_{2}&=(C_{2}+D_{21}K)u\end{aligned}}$

传递函数矩阵为 $G_{z\infty w}(s)$ 和 $G_{z2w}(s)$
因此，系统的 $H_{\infty }$ 性能和 $H_{2}$ 性能要求分别为
$||G_{z\infty w}(s)||_{\infty }<\gamma _{\infty }$
和
$||G_{z2w}(s)||_{2}<\gamma _{2}$
. 为了系统响应性能，引入闭环特征值位置要求。令
$D={s|s\in C,L+sM+sM^{T}<0},$
它是复平面上一个区域，用来约束闭环特征值的位置。因此，设计了一个状态反馈控制律，使得

满足 $H_{\infty }$ 性能和 $H_{2}$ 性能。
闭环特征值都位于 $D$ 中，即

$\,\,\,\,\,$ $\lambda (A+B_{1}K)\subset D$ .

LMI：混合 $H_{2}$ / $H_{\infty }$ 以及期望极点位置的 LMI

如果存在两个对称矩阵 $X,Z$ 和一个矩阵 $W$ ，满足以上讨论的优化问题，则该优化问题存在解。

min $c_{2}\gamma _{2}^{2}+c_{\infty }\gamma _{\infty }$
s.t
${\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}(AX+B_{1}W)^{T}+AX+B_{1}W&B_{2}&(C_{\infty }X+D_{\infty 1}W)^{T}\\B_{2}^{T}&-\gamma _{\infty }I&D_{\infty 2}^{T}\\C_{\infty }X+D_{\infty 1}W&D_{\infty 2}&-\gamma _{\infty }I\\\end{bmatrix}}<0\\&AX+B_{1}W+(AX+B_{1}W)^{T}+B_{2}B_{2}^{T}<0\\&{\begin{bmatrix}-Z&C_{2}X+D_{21}W\\(C_{2}X+D_{21}W)^{T}&-X\\\end{bmatrix}}>0\\&{\text{trace}}(Z)<\gamma _{2}^{2}\\&L\otimes +M\otimes (AX+B_{1}W)+M^{T}\otimes (AX+B_{1}W)^{T}<0\\\end{aligned}}$