控制中的 LMI/pages/二阶系统的稳定性

控制中的 LMI/pages/二阶系统的稳定性

稳定性是控制领域中一个非常重要的概念，对于二阶系统来说也不例外。二阶系统可以用质量-弹簧-阻尼器模型最简单地概念化。速度和位置当然被选为该系统的状态，状态空间模型可以写成如下所示。在这种情况下，稳定性的目标是设计一个控制律，该控制律由两个控制器增益矩阵组成 $K_{p}\in R^{r*m_{p}}$, $K_{d}\in R^{r*m_{d}}$。这些允许构建一个稳定的闭环控制器。

系统

在这里，我们想要稳定以下形式的二阶系统

${\begin{aligned}M{\ddot {x}}+D{\dot {x}}+Kx&=Bu,\end{aligned}}$

其中 $x\in R^{n}$ 和 $u\in R^{r}$ 分别是状态向量和控制向量，M（称为“质量矩阵”）、D（称为“结构阻尼矩阵”）、K（称为“刚度矩阵”）和 B 是相应维度的系统系数矩阵。

为了使系统遵循标准约定，我们将系统重新表述为

${\begin{aligned}A_{2}{\ddot {x}}+A_{1}{\dot {x}}+A_{0}x&=Bu\\y_{d}&=C_{d}{\dot {x}}\\y_{p}&=C_{p}x,\end{aligned}}$

其中：$x\in R^{n}$ 和 $u\in R^{r}$ 分别是状态向量和控制向量；$y_{d}\in R^{m_{d}}$ 和 $y_{p}\in R^{m_{p}}$ 分别是导数输出向量和比例输出向量；而 $A_{2},A_{1},A_{0},B,C_{d},$ 和 $C_{p}$ 是相应维度的系统系数矩阵。请注意，$A_{2}$ 必须是 $>0$，并且 $A_{0},A_{2}$ 必须是 $\in S^{n}$.

To further define: $x$ is$\in R^{n}$ and is the state vector, $A_{0}$ is $\in R^{n*n}$ and is the state matrix on $x$ , $A_{1}$ is $\in R^{n*n}$ and is the state matrix on ${\dot {x}}$ , $A_{2}$ is $\in R^{n*n}$ and is the state matrix on ${\ddot {x}}$, $B$ is $\in R^{n*r}$ and is the input matrix, $u$ is $\in R^{r}$ and is the input, $C_{d}$ and $C_{p}$ are $\in R^{m*n}$ and are the output matrices, $y_{d}$ is $\in R^{m}$ and is the output from $C_{d}$, and $y_{p}$ is $\in R^{m}$ and is the output from $C_{p}$.

$\in R^{n}$

数据

矩阵 $A_{2},A_{1},A_{0},B,C_{d},C_{p}$.

优化问题

对于所描述的系统，我们选择以下控制律

${\begin{aligned}u&=K_{p}y_{p}+K_{d}y_{d}\\&=K_{p}C_{p}{\hat {x}}+K_{d}C_{d}x,\end{aligned}}$

其中 $K_{p}\in R^{r*m_{p}}$，$K_{d}\in R^{r*m_{d}}$，我们得到闭环系统如下

${\begin{aligned}A_{2}{\ddot {x}}+(A_{1}-BK_{p}C_{p}){\dot {x}}+(A_{0}-BK_{d}C_{d})x&=0.\\\end{aligned}}$

我们的任务是设计一个状态反馈控制律，使上述系统成为赫尔维茨稳定。

首先，为了解决这个问题，我们需要引入一个引理。此引理来自“控制系统中的 LMI” 的附录 A.6，由 段广仁 和 于海华 撰写。该引理指出：

${\begin{aligned}A_{2}>0,A_{1}+A_{1}^{T}>0,A_{0}>0\\\end{aligned}}$

LMI： 二阶系统的稳定性

如果存在矩阵 $K_{p}\in R^{r*m_{p}}$ 和 $K_{d}\in R^{r*m_{d}}$ 满足以下 LMI，则存在解

${\begin{aligned}A_{0}-BK_{d}C_{d}>0,\end{aligned}}$

和

${\begin{aligned}(A_{1}-BK_{p}C_{p})+(A_{1}-BK_{p}C_{p})^{T}>0.\end{aligned}}$

结论

最后，在解决 LMI 后，优化将产生两个矩阵，$K_{p}$ 和 $K_{d}$，可以代入系统，作为

${\begin{aligned}u&=K_{p}C_{p}{\dot {x}}+K_{d}C_{d}x\end{aligned}}$

以获得稳定化的二阶系统。

实现

此实现需要 Yalmip 和 Sedumi。 https://github.com/rezajamesahmed/LMImatlabcode/blob/master/stab2ndorder.m

相关 LMI

二阶系统的鲁棒稳定性

外部链接

此 LMI 来自

• [1] - “控制系统中的 LMI：分析、设计和应用”，作者为 段广仁 和 于海华。

其他资源

• 最优和鲁棒控制中的 LMI 方法 - 马修·皮特的关于 LMI 在控制中的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用 - 莱恩·卡弗里和詹姆斯·福布斯的 LMI 列表。
• 系统与控制理论中的 LMI - 斯蒂芬·博伊德关于 LMI 的可下载书籍。

参考文献

Duan, G. (2013). 控制系统中的 LMI：分析、设计和应用。Boca Raton：CRC 出版社，泰勒和弗朗西斯集团。