爱尔兰高中毕业证书数学/代数

代数是数学的一个分支，涉及对结构、关系和数量的研究。这个名字来源于波斯数学家、天文学家、占星家和地理学家穆罕默德·伊本·穆萨·花拉子米撰写的专著，名为《代数和平衡的计算简明书》，书中提供了对线性方程和二次方程的系统解法的符号运算。花拉子米著作传到了欧洲，并被翻译成拉丁语，名为《代数与穆卡巴拉之书》。

代数与几何、分析、组合学和数论一起，是数学的主要分支之一。初等代数通常是中学课程的一部分，它介绍了代数的基本概念，包括加法和乘法的运算效果、变量的概念、多项式的定义，以及因式分解和确定其根。

代数比初等代数要广泛得多，可以概括。除了直接处理数字外，代数还包括处理符号、变量和集合元素。加法和乘法被视为一般的运算，它们精确的定义导致了群、环和域等结构的产生。

代数 1

1. 表达式 - 最基本的东西；加法、减法、乘法、除法、代数符号和使用帕斯卡三角形。
2. 因式分解 - 使用最大公因数 (HCF)、分组、平方差、立方差和二次三项式来找到表达式的因式。
3. 代数分数 - 代数分数的加减运算，以及乘除运算。
4. 二项式展开 - 当两个项的表达式被提高到高次方时，一种更简单的展开方法。
5. 二项式项 - 找到特定位置的项，或找到变量被提高到特定次方的位置。

考试题目

2003

试卷 1 问题 1

1. (a) 将以下表达式表示为最简形式的单个分数

$\ {\frac {6y}{x(x+4y)}}-{\frac {3}{2x}}$

(b) (i) $\ f(x)=ax^{2}+bx+c$ 其中 $\ a,b,c\epsilon R$

已知 $\ k$ 是一个实数，使得 $\ f(k)=0$，证明 $\ x-k$ 是 $\ f(x)$ 的一个因式。

(ii) 证明 $\ 2x-{\sqrt {3}}$ 是 $\ 4x^{2}-2(1+{\sqrt {3}})+{\sqrt {3}}$ 的一个因式，并求出另一个因式。

(c) 方程 $\ x^{2}+10x+c=0$ 的两个实根相差 $\ 2p$，其中 $\ c,p\epsilon R$ 且 $\ p>0$.

(i) 证明 $\ p^{2}=25-c$.

(ii) 已知一个根大于零，另一个根小于零，求 $\ p$ 的取值范围。

试卷一 第 2 题

2. (a) 解下列联立方程

$\ 3x-y=8$

$\ x^{2}+y^{2}=10$

(b) (i) 求解 x

$\ |4x+7|<1$

(ii) 已知 $\ x^{2}-ax-3$ 是 $\ x^{3}-5x^{2}+bx+9$ 的一个因式，其中 $\ a,b\epsilon R$

求解 $\ a$ 和 $\ b$ 的值。

(c) (i) 求解 y：$\ 2^{2y+1}-5(2^{y}+2=0$

(ii) 已知 {math>\ x = \alpha</math> 和 $\ x=\beta$ 是二次方程

$\ 2k^{2}x^{2}+2ktx+t^{2}-3k^{2}=0$ 的解，其中 $\ k,t,\epsilon R$ 且 $\ k\neq 0$

证明 $\ \alpha ^{2}+\beta ^{2}$ 与 $\ k$ 和 $\ t$ 无关。

2004

试卷 1 问题 1

(a) 将 $\ {\frac {1-{\sqrt {3}}}{1+{\sqrt {3}}}}$ 表示成 $\ a{\sqrt {3}}-b$ 的形式，其中 $\ a$ 和 $\ b\epsilon N$。

(b)

(i) 令 $\ f(x)=x^{3}+kx^{2}-4x-12$，其中 $\ k$ 是常数。已知 $\ x+3$ 是 $\ f(x)$ 的一个因式，求 $\ k$ 的值。

(ii) 证明 $\ {\frac {3}{1+x^{p}}}+{\frac {3}{1+x^{-}p}}$ 化简为一个常数。

(c)

(i) 证明 $\ p^{3}+q^{3}-(p+q)^{3}=-3pq(p+q)$。

(ii) 由此或其他方法，求使 $\ (a-x)^{3}+(b-x)^{3}-(a+b-2x)^{3}=0$ 成立的 $\ x$ 的三个值，用 $\ a$ 和 $\ b$ 表示。

Paper 1 Question 2

(a) 不使用计算器，求解以下联立方程

$\ 3x+y+z=0$

$\ x-y+z=0$

$\ 2x-3y-z=9$

(b)

(i)

求解不等式$\ {\frac {x+1}{x-1}}<4$，其中$\ x\epsilon R$ 且 $\ x\neq 0$

(ii)

方程$\ x^{2}+px+q=0$ 的根为 $\ alpha$ 和 $\beta$，其中 $\ p,q\epsilon R$。

求根为$\ \alpha ^{2}\beta$ 和 $\ \alpha \beta ^{2}$ 的二次方程。

(c)

(i)

$\ f(x)=2x+1$，对于$\ x\epsilon R$

证明存在一个实数 $\ k$，使得对于所有的$\ x$

$\ f(x+f(x))=kf(x)$

(ii)

证明对于 $\ a,b,h$ 的任何实数值，二次方程

$\ (x-a)(x-b)-h^{2}=0$

有实根。

2005

试卷 1 问题 1

(a) 求解联立方程

${\frac {x}{5}}-{\frac {y}{4}}=0$

$\ 3x+{\frac {y}{2}}=17$

(b)

(i) 将 $\ 2^{1/4}+2^{1/4}+2^{1/4}+2^{1/4}$ 表示为 $\ 2^{p/q}$ 的形式，其中 $\ p,q\epsilon Z$

(ii) 令 $\ f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$.

证明 $\ (x-t)$ 是 $\ f(x)-f(t)$ 的因式。

(c)$\ (x-p)^{2}$ 是 $\ x^{3}+qx+r$ 的因式

证明 $\ 27r^{2}+4q^{3}=0$

用 p 表示 $\ 3x^{3}+q=0$ 的根。

Paper 1 Question 2

(a) 求解关于 x 的方程 $\ |x-1|<7$，其中 $\ x\epsilon R$

(b) 三次方程 $\ 4x^{3}+10x^{2}-7x-3=0$ 有一整数根和两个无理根。用最简根式表示有理根。

(c) 令 $\ f(x)={\frac {x^{2}+k^{2}}{mx}}$，其中 $\ k$ 和 $/m$ 是常数，并且 $\ m\neq 0$

(i) 证明 $\ f(km)=f({\frac {k}{m}})$.

(ii) $\ a$ 和 $\ b$ 是实数，使得 $\ a\neq 0,b\neq 0$ 并且 $\ a\neq b$。证明如果 $\ f(a)=f(b)$，那么 $\ ab=k^{2}$

2006

试卷 1 问题 1

(a) 求实数 a，使得对于所有 $\ x\neq 9$，

${\frac {x-9}{{\sqrt {x}}-3}}$

(b)$\ f(x)=3x^{3}+mx^{2}-17x+n$，其中 $\ m$ 和 $\ n$ 是常数。已知 $\ x-3$ 和 $\ x+2$ 是 $\ f(x)$ 的因式，求 $\ m$ 的值和 $\ n$ 的值。

(c)$\ x^{2}-t$ 是 $\ x^{3}-px^{2}+r$ 的因式。

(i) 证明 $\ {pq=r}$.

(ii) 用 $\ p$ 和 $\ q$ 表示方程 $\ x^{3}-px^{2}+r=0$ 的根。

Paper 1 Question 2

(a) 求解联立方程

$\ y=2x-5$

$\ x^{2}+xy=2$

(b)

(i) 找出使二次方程

$\ (2t-1)x^{2}+5tx+2t=0$

有实根的 $\ t\epsilon R$ 值域。

(ii) 解释当 t 为整数时，为什么根是实数。