线性代数/加法、乘法和转置

加法和减法

只有当两个矩阵的大小相同时，它们才能被加或减。矩阵加法和减法是逐元素进行的，这意味着A+B中的每个元素都是A和B中对应元素的和。

$A={\begin{bmatrix}7&&5&&3\\4&&0&&5\end{bmatrix}}\qquad B={\begin{bmatrix}1&&1&&1\\-1&&3&&2\end{bmatrix}}$

这是一个矩阵加法的例子

$A+B={\begin{bmatrix}7+1&&5+1&&3+1\\4-1&&0+3&&5+2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8&&6&&4\\3&&3&&7\end{bmatrix}}$

和一个减法的例子

$A-B={\begin{bmatrix}7-1&&5-1&&3-1\\4+1&&0-3&&5-2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}6&&4&&2\\5&&-3&&3\end{bmatrix}}$

请记住，你不能将两个不同大小的矩阵相加或相减。

以下规则适用于矩阵的和和标量倍数。
令$A,B,C$ 是相同大小的矩阵，令 $r,s$ 是标量。

• $A+B=B+A$
• $(A+B)+C=A+(B+C)$
• $A+0=A$
• $r(A+B)=rA+rB$
• $(r+s)A=rA+sA$
• $r(sA)=(rs)A$

乘法

什么是矩阵乘法？当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，才能将两个矩阵相乘。

否则，两个矩阵的乘积是未定义的。乘积矩阵的维数是

$\to ({\text{rows of first matrix}})\times ({\text{columns of the second matrix}})$

在上面的乘法中，矩阵无法相乘，因为第一个矩阵 $A$ 的列数不等于第二个矩阵 $B$ 的行数。乘积矩阵的维度：第一个矩阵的行数 × 第二个矩阵的列数。

幂

如果 $A$ 是一个 $n\times n$ 矩阵，并且如果 $k$ 是一个正整数，那么 $A^{k}$ 表示 $k$ 个 $A$ 的乘积。

$A^{k}={\begin{matrix}\underbrace {A\cdots A} \\k\end{matrix}}$

如果 $A$ 不为零，并且如果 ${\rm {x}}$ 属于 $\mathbb {R} ^{n}$，那么 $A^{k}{\rm {x}}$ 是将 ${\rm {x}}$ 左乘 $A$ $k$ 次的结果。如果 $k=0$，那么 $A^{0}{\rm {x}}$ 应该为 ${\rm {x}}$ 本身。因此，$A^{0}$ 被解释为单位矩阵。

转置

给定一个 $m\times n$ 矩阵 $A$ , $A$ 的转置是一个 $n\times m$ 矩阵，记作 $A^{T}$，它的列由 $A$ 的对应行组成。

例如

$A={\begin{bmatrix}a&&b\\c&&d\end{bmatrix}}\qquad B={\begin{bmatrix}3&&5\\2&&7\\6&&9\\1&&0\\5&&2\end{bmatrix}}$

$A^{T}={\begin{bmatrix}a&&c\\b&&d\end{bmatrix}}\qquad B^{T}={\begin{bmatrix}3&&2&&6&&1&&5\\5&&7&&9&&0&&2\end{bmatrix}}$

在处理转置时，以下规则适用

1. $(A^{T})^{T}=A$
2. $(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$
3. 对于任何标量 $r$， $(rA)^{T}=rA^{T}$
4. $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$

第4条规则可以推广到两个以上因子的乘积，即“矩阵乘积的转置等于其转置的乘积，但顺序相反”。意思是

$(a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n})^{T}=a_{n}^{T},\dots ,a_{3}^{T},a_{2}^{T},a_{1}^{T}$