线性代数/基向量

定义

向量空间V的基是一组具有以下性质的向量

• 它们线性无关。
• 它们的线性组合构成V中的每个向量。

如果存在d个线性无关的向量，并且任何d+1个向量都线性相关，则向量空间的维数为d。

非凡的定理

定理

在维数为d的向量空间中，任何d个线性无关的向量构成该向量空间的基。

证明

假设有d个向量。令x为另一个向量。那么这d个向量和x线性相关，所以x线性依赖于这d个向量。因此，这d个向量构成一个基。

定理

如果一个向量空间有d个向量构成基，那么它的维数为d。

定理（完成）

如果在维数为n的向量空间中，你有m个线性无关的向量（其中m<=n），那么你可以选择n-m个向量，它们与开始的m个向量一起构成该向量空间的基。

证明

这m个向量不能构成基，因为它不等于n，所以存在一个向量在向量空间中与它们线性无关。以这种方式继续选择独立于先前向量的向量，直到得到n个向量。