线性代数/特征方程

矩阵定义的特征值非常有用，因为它允许我们使用以下定理找到给定矩阵的特征值

$\lambda$ 是 $A$ 的特征值，当且仅当 $det(A-\lambda I_{n}v)=0.$

证明

如果 $Av=\lambda v$ 那么

$\Rightarrow Av=\lambda I_{n}v$

$\Rightarrow Av-\lambda I_{n}v=0$

$\Rightarrow (A-\lambda I_{n})v=0$

但由于 $v$ 不为零，我们知道 $(A-\lambda I_{n})$ 是奇异的，即它的行列式为零，所以 A 的特征值将满足方程

$det(A-\lambda I_{n}v)=0.$

这被称为特征方程。（还没有证明逆命题，但在计算特征值时不需要这个。）

在 $A$ 是 $2x2$ 矩阵的情况下，此方程将导致特征多项式

$det({\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}})=0$

$\Rightarrow det({\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\lambda &0\\0&\lambda \end{bmatrix}})=0$

$\Rightarrow det{\begin{bmatrix}a_{11}-\lambda &a_{12}\\a_{21}&a_{22}-\lambda \end{bmatrix}}=0$

$\Rightarrow (a_{11}-\lambda )(a_{22}-\lambda )-a_{21}a_{12}=0$

$\Rightarrow \lambda ^{2}-(a_{11}+a_{22})\lambda +a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=0$

这只是一个二次方程，它的根是 $A$ 的特征值。

为了找到相应的特征向量，我们只需解方程 $Av=\lambda v$，它将是两个联立方程。事实上，这个方程将有无穷多个解，因为特征向量的任何标量倍数也是特征向量。