线性代数/克莱姆法则

克莱姆法则

让我们尝试解决线性方程组
a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃+...+a_1nx_n=b₁
a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₃x₃+...+a_2nx_n=b₂
a₃₁x₁+a₃₂x₂+a₃₃x₃+...+a_3nx_n=b₃
...
a_n1x₁+a_n2x₂+a_n3x₃+...+a_nnx_n=b_n

这是方程数量和变量数量相等的特殊情况。

考虑矩阵

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}$

表示为 D。

首先，我们将第 n 个方程乘以第 j 列的余子式 Co(a_nj)，并将它们全部加起来。这得到

Co(a_1j)a₁₁x₁+Co(a_1j)a₁₂x₂+Co(a_1j)a₁₃x₃+...+Co(a_1j)a_1nx_n+
Co(a_2j)a₂₁x₁+Co(a_2j)a₂₂x₂+Co(a_2j)a₂₃x₃+...+Co(a_2j)a_2nx_n+
Co(a_3j)a₃₁x₁+Co(a_3j)a₃₂x₂+Co(a_3j)a₃₃x₃+...+Co(a_3j)a_3nx_n+
+...+
Co(a_nj)a_n1x₁+Co(a_nj)a_n2x₂+Co(a_nj)a_n3x₃+...+Co(a_nj)a_nnx_n
=
Co(a_1j)b₁+Co(a_2j)b₂+Co(a_3j)b₃+...+Co(a_nj)b_n。

左侧除了 Co(a_1j)a_1jx_j+Co(a_2j)a_2jx_j+Co(a_3j)a_3jx_j+...+Co(a_nj)a_njx_j 之外，其他项都抵消了。

它等于 $x_{j}{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}=D$

右侧等于

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &b_{1}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &b_{2}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &b_{3}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &b_{n}&\ldots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}$, 表示为 D(j)，它与 D 相同，只是第 j 列被 b_k 替换。

除以 D 得到 x_j=${\frac {D_{j}}{D}}$.

这个公式被称为克莱姆法则，当 D 不等于 0 时，该解存在。

特别地，在求解的过程中，我们也发现这是一个唯一的解，所以这个解是唯一的。

示例

考虑以下线性方程组。
$3x_{1}+2x_{2}-5x_{3}=15$
$5x_{1}+x_{3}=23$
$x_{2}+x_{3}=12$

如果我们只想要解，比如 $x_{2}$，我们可以应用克莱姆法则，发现其解为 ${\frac {D_{2}}{D}}$，并且我们知道
$D_{2}={\begin{bmatrix}3&15&-5\\5&23&1\\0&12&1\end{bmatrix}}$,
$x_{2}={\frac {\det {\begin{bmatrix}3&15&-5\\5&23&1\\0&12&1\end{bmatrix}}}{\det {\begin{bmatrix}3&2&-5\\5&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}}}}=9$.