线性代数/同态的定义

定义 1.1

向量空间之间的函数 $h:V\to W$ 保持加法运算

如果 ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\in V$ 那么 $h({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})=h({\vec {v}}_{1})+h({\vec {v}}_{2})$

和标量乘法

如果 ${\vec {v}}\in V$ 和 $r\in \mathbb {R}$ 那么 $h(r\cdot {\vec {v}})=r\cdot h({\vec {v}})$

是同态或线性映射。

示例 1.2

投影映射 $\pi :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$

{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi }{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}

是同态。

它保持加法

\pi ({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}\!+\!{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}})=\pi ({\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}\\y_{1}+y_{2}\end{pmatrix}}=\pi ({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}})+\pi ({\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}})

和标量乘法。

\pi (r\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}})=\pi ({\begin{pmatrix}rx_{1}\\ry_{1}\\rz_{1}\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}rx_{1}\\ry_{1}\end{pmatrix}}=r\cdot \pi ({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}})

该映射不是同构，因为它不是一对一的。例如， ${\vec {0}}$ 和 ${\vec {e}}_{3}$ 在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中都被映射到 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的零向量。

例 1.3

当然，定义域和陪域可能不是列向量的空间。这两个都是同态；验证很简单。

$f_{1}:{\mathcal {P}}_{2}\to {\mathcal {P}}_{3}$ 由下式给出
$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\;\mapsto \;a_{0}x+(a_{1}/2)x^{2}+(a_{2}/3)x^{3}$
$f_{2}:M_{2\!\times \!2}\to \mathbb {R}$ 由下式给出
${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto a+d$

例 1.4

在任何两个空间之间都存在一个**零同态**，将定义域中的每个向量映射到陪域中的零向量。

例 1.5

这两个例子说明了我们为什么使用“线性映射”这个术语。

映射 $g:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ 由下式给出
${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\stackrel {g}{\longmapsto }}3x+2y-4.5z$
是线性的（即为同态）。相反，映射 ${\hat {g}}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ 由
${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\stackrel {\hat {g}}{\longmapsto }}3x+2y-4.5z+1$ 给出
不是；例如，
${\hat {g}}({\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}})=4\quad {\text{while}}\quad {\hat {g}}({\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}})+{\hat {g}}({\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}})=5$ 。
（为了证明一个映射不是线性的，我们只需要给出线性组合不保留的一个例子）。
这两个映射中的第一个 $t_{1},t_{2}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$ 是线性的，而第二个不是。
${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\stackrel {t_{1}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}5x-2y\\x+y\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\stackrel {t_{2}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}5x-2y\\xy\end{pmatrix}}$ 。
找到第二个映射不能保留结构的例子很容易。

区别同态的是坐标函数是自变量的线性组合。另见问题 7。

显然，任何同构都是同态——同构是也是对应关系的同态。因此，我们可以将“同态”概念视为“同构”的推广，其动机在于观察到，同构的许多性质仅仅与映射的结构保持属性有关，而与它是否为对应关系无关。例如，上一节中的这两个结果在其证明中没有使用一一性或映上性，因此适用于任何同态。

引理 1.6

同态将零向量映射到零向量。

引理 1.7

这些都是 $f:V\to W$ 为同态的充要条件。

$f(c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+c_{2}\cdot {\vec {v}}_{2})=c_{1}\cdot f({\vec {v}}_{1})+c_{2}\cdot f({\vec {v}}_{2})$ 对于任意 $c_{1},c_{2}\in \mathbb {R}$ 和 ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\in V$
$f(c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {v}}_{n})=c_{1}\cdot f({\vec {v}}_{1})+\dots +c_{n}\cdot f({\vec {v}}_{n})$ 对于任意 $c_{1},\dots ,c_{n}\in \mathbb {R}$ 和 ${\vec {v}}_{1},\ldots ,{\vec {v}}_{n}\in V$

第一部分通常用于检查函数是否为线性函数。

示例 1.8

映射 $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{4}$ 由

{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {f}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}x/2\\0\\x+y\\3y\end{pmatrix}}

满足先前结果的 1。

{\begin{pmatrix}r_{1}(x_{1}/2)+r_{2}(x_{2}/2)\\0\\r_{1}(x_{1}+y_{1})+r_{2}(x_{2}+y_{2})\\r_{1}(3y_{1})+r_{2}(3y_{2})\end{pmatrix}}=r_{1}{\begin{pmatrix}x_{1}/2\\0\\x_{1}+y_{1}\\3y_{1}\end{pmatrix}}+r_{2}{\begin{pmatrix}x_{2}/2\\0\\x_{2}+y_{2}\\3y_{2}\end{pmatrix}}

因此，它是一个同态。

但是，我们对同构看到的某些结果通常不适用于同态。考虑同构在空间之间建立对应关系，这与它们的基础相对应。同态不会建立任何这样的对应关系；例 1.2 表明不存在这样的对应关系，另一个例子是任何两个非平凡空间之间的零映射。相反，对于同态，一个较弱但仍然非常有用的结果成立。

定理 1.9

同态由其在基上的作用决定。也就是说，如果 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 是向量空间 $V$ 的一个基，并且 ${\vec {w}}_{1},\dots ,{\vec {w}}_{n}$ 是向量空间 $W$ 中的（可能不不同的）元素，则存在一个从 $V$ 到 $W$ 的同态，将 ${\vec {\beta }}_{1}$ 映射到 ${\vec {w}}_{1}$ ，...，以及将 ${\vec {\beta }}_{n}$ 映射到 ${\vec {w}}_{n}$ ，并且该同态是唯一的。

证明

我们将通过关联 ${\vec {\beta }}_{1}$ 与 ${\vec {w}}_{1}$ 等来定义映射，然后线性扩展到整个域。也就是说，当 ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ 时，映射 $h:V\to W$ 由 $h({\vec {v}})=c_{1}{\vec {w}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {w}}_{n}$ 给出。这是定义明确的，因为关于基底，每个域向量 ${\vec {v}}$ 的表示是唯一的。

这个映射是同态的，因为它保留线性组合；当 ${\vec {v_{1}}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\cdots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ 以及 ${\vec {v_{2}}}=d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\cdots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ ，我们有以下结果。

{\begin{array}{rl}h(r_{1}{\vec {v}}_{1}+r_{2}{\vec {v}}_{2})&=h((r_{1}c_{1}+r_{2}d_{1}){\vec {\beta }}_{1}+\dots +(r_{1}c_{n}+r_{2}d_{n}){\vec {\beta }}_{n})\\&=(r_{1}c_{1}+r_{2}d_{1}){\vec {w}}_{1}+\dots +(r_{1}c_{n}+r_{2}d_{n}){\vec {w}}_{n}\\&=r_{1}h({\vec {v}}_{1})+r_{2}h({\vec {v}}_{2})\end{array}}

并且，这个映射是唯一的，因为如果 ${\hat {h}}:V\to W$ 是另一个同态，使得 ${\hat {h}}({\vec {\beta }}_{i})={\vec {w}}_{i}$ 对于每个 $i$ ，则 $h$ 和 ${\hat {h}}$ 在域中的所有向量上都一致。

{\begin{array}{rl}{\hat {h}}({\vec {v}})&={\hat {h}}(c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})\\&=c_{1}{\hat {h}}({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}{\hat {h}}({\vec {\beta }}_{n})\\&=c_{1}{\vec {w}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {w}}_{n}\\&=h({\vec {v}})\end{array}}

因此， $h$ 和 ${\hat {h}}$ 是同一个映射。

示例 1.10

此结果表明，我们可以通过固定域的基底并指定映射发送这些基底向量的位置来构造一个同态。例如，如果我们指定一个映射 $h:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 以这种方式作用于标准基底 ${\mathcal {E}}_{2}$

h({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad h({\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}-4\\4\end{pmatrix}}

那么 $h$ 对域中任何其他成员的作用也被指定。例如， $h$ 在这个参数上的值

h({\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}})=h(3\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}-2\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}})=3\cdot h({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}})-2\cdot h({\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}5\\-5\end{pmatrix}}

是 $h$ 在基向量上的值的直接结果。

在本章的后面，我们将开发一种使用矩阵的方案，该方案便于进行类似于此方案的计算。

正如一个空间与其自身的同构是有用且有趣的，一个空间与其自身的同态也是如此。

定义 1.11

从空间到其自身的线性映射 $t:V\to V$ 是线性变换。

备注 1.12

在这本书中，我们只在陪域等于域的情况下使用“线性变换”，但在其他文本中，它被广泛用作“同态”的通用同义词。

示例 1.13

在 $\mathbb {R} ^{2}$ 上将所有向量投影到 $x$ -轴上的映射

{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}

是线性变换。

示例 1.14

导数映射 $d/dx:{\mathcal {P}}_{n}\to {\mathcal {P}}_{n}$

a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}{\stackrel {d/dx}{\longmapsto }}a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+\cdots +na_{n}x^{n-1}

是一个线性变换，正如微积分笔记中的结果： $d(c_{1}f+c_{2}g)/dx=c_{1}\,(df/dx)+c_{2}\,(dg/dx)$ .

示例 1.15: 矩阵转置映射

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\;\mapsto \;{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}

是 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 的线性变换。注意，此变换是一对一的并且是满射的，因此它实际上是一个自同构。

我们通过回顾可以线性组合映射来结束关于映射的本小节。例如，对于从 $\mathbb {R} ^{2}$ 到自身的这些映射

{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {f}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}2x\\3x-2y\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {g}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}0\\5x\end{pmatrix}}

线性组合 $5f-2g$ 也是从 $R^{2}$ 到自身的映射。

{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {5f-2g}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}10x\\5x-10y\end{pmatrix}}

引理 1.16

对于向量空间 $V$ 和 $W$ ，从 $V$ 到 $W$ 的线性函数集合本身就是一个向量空间，是所有从 $V$ 到 $W$ 的函数空间的子空间。它表示为 $\mathop {\mathcal {L}} (V,W)$ 。

证明

这个集合不为空，因为它包含零同态。因此，要证明它是一个子空间，我们只需要检查它是否在线性组合下是封闭的。设 $f,g:V\to W$ 是线性的。那么它们的和是线性的

{\begin{array}{rl}(f+g)(c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2})&=c_{1}f({\vec {v}}_{1})+c_{2}f({\vec {v}}_{2})+c_{1}g({\vec {v}}_{1})+c_{2}g({\vec {v}}_{2})\\&=c_{1}{\bigl (}f+g{\bigr )}({\vec {v}}_{1})+c_{2}{\bigl (}f+g{\bigr )}({\vec {v}}_{2})\end{array}}

任何标量倍数也是线性的。

{\begin{array}{rl}(r\cdot f)(c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2})&=r(c_{1}f({\vec {v}}_{1})+c_{2}f({\vec {v}}_{2}))\\&=c_{1}(r\cdot f)({\vec {v}}_{1})+c_{2}(r\cdot f)({\vec {v}}_{2})\end{array}}

因此， $\mathop {\mathcal {L}} (V,W)$ 是一个子空间。

我们从隔离同构的结构保持属性开始这一节。也就是说，我们定义了同态作为同构的推广。我们为同构研究的一些性质保持不变，而另一些则适应了这种更一般的设置。

然而，将这种新的同态概念视为源自同构或以某种方式从属于同构的概念将是一个错误。在本章的其余部分，我们将主要使用同态，部分原因是关于同态的任何陈述都自动适用于同构，但更重要的是，虽然同构的概念可能更自然，但经验表明同态的概念实际上更有成效，并且对于进一步的进展更加重要。

练习

建议所有读者练习此题。

问题 1

确定每个 $h:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$ 是否为线性。

$h({\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}x\\x+y+z\end{pmatrix}}$
$h({\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$
$h({\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$
$h({\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}2x+y\\3y-4z\end{pmatrix}}$

答案

是。验证很简单。
${\begin{array}{rl}h(c_{1}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+c_{2}\cdot {\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}})&=h({\begin{pmatrix}c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}\\c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}\\c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}\end{pmatrix}})\\&={\begin{pmatrix}c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}\\c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}\end{pmatrix}}\\&=c_{1}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{1}+y_{1}+z_{1}\end{pmatrix}}+c_{2}\cdot {\begin{pmatrix}x_{2}\\c_{2}+y_{2}+z_{2}\end{pmatrix}}\\&=c_{1}\cdot h({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}})+c_{2}\cdot h({\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}})\end{array}}$
是的。验证很容易。
${\begin{array}{rl}h(c_{1}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+c_{2}\cdot {\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}})&=h({\begin{pmatrix}c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}\\c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}\\c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}\end{pmatrix}})\\&={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\\&=c_{1}\cdot h({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}})+c_{2}\cdot h({\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}})\end{array}}$
不。一个不符合加法的例子是这个。
$h({\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\neq h({\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}})+h({\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}})$
是。验证很简单。
${\begin{array}{rl}h(c_{1}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+c_{2}\cdot {\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}})&=h({\begin{pmatrix}c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}\\c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}\\c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}\end{pmatrix}})\\&={\begin{pmatrix}2(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2})+(c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2})\\3(c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2})-4(c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2})\end{pmatrix}}\\&=c_{1}\cdot {\begin{pmatrix}2x_{1}+y_{1}\\3y_{1}-4z_{1}\end{pmatrix}}+c_{2}\cdot {\begin{pmatrix}2x_{2}+y_{2}\\3y_{2}-4z_{2}\end{pmatrix}}\\&=c_{1}\cdot h({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}})+c_{2}\cdot h({\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}})\end{array}}$

建议所有读者练习此题。

问题 2

判断每个映射 $h:{\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}\to \mathbb {R}$ 是否是线性的。

$h({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}})=a+d$
$h({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}})=ad-bc$
$h({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}})=2a+3b+c-d$
$h({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}})=a^{2}+b^{2}$

答案

对于每个函数，我们必须检验线性组合是否被保留，或者给出一个线性组合不被保留的例子。

是。检验其是否保留组合是例行公事。
${\begin{array}{rl}h(r_{1}\cdot {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&d_{1}\end{pmatrix}}+r_{2}\cdot {\begin{pmatrix}a_{2}&b_{2}\\c_{2}&d_{2}\end{pmatrix}})&=h({\begin{pmatrix}r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}&r_{1}b_{1}+r_{2}b_{2}\\r_{1}c_{1}+r_{2}c_{2}&r_{1}d_{1}+r_{2}d_{2}\end{pmatrix}})\\&=(r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2})+(r_{1}d_{1}+r_{2}d_{2})\\&=r_{1}(a_{1}+d_{1})+r_{2}(a_{2}+d_{2})\\&=r_{1}\cdot h({\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&d_{1}\end{pmatrix}})+r_{2}\cdot h({\begin{pmatrix}a_{2}&b_{2}\\c_{2}&d_{2}\end{pmatrix}})\end{array}}$
否。例如，乘以标量 $2$ 就没有被保留。
$h(2\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}})=h({\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}})=4\quad {\text{while}}\quad 2\cdot h({\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}})=2\cdot 1=2$
是。这是检验其是否保留域中两个成员的组合。
${\begin{array}{rl}h(r_{1}\cdot {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&d_{1}\end{pmatrix}}+r_{2}\cdot {\begin{pmatrix}a_{2}&b_{2}\\c_{2}&d_{2}\end{pmatrix}})&=h({\begin{pmatrix}r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}&r_{1}b_{1}+r_{2}b_{2}\\r_{1}c_{1}+r_{2}c_{2}&r_{1}d_{1}+r_{2}d_{2}\end{pmatrix}})\\&=2(r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2})+3(r_{1}b_{1}+r_{2}b_{2})+(r_{1}c_{1}+r_{2}c_{2})-(r_{1}d_{1}+r_{2}d_{2})\\&=r_{1}(2a_{1}+3b_{1}+c_{1}-d_{1})+r_{2}(2a_{2}+3b_{2}+c_{2}-d_{2})\\&=r_{1}\cdot h({\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&d_{1}\end{pmatrix}}+r_{2}\cdot h({\begin{pmatrix}a_{2}&b_{2}\\c_{2}&d_{2}\end{pmatrix}})\end{array}}$
不是。一个不保持组合的例子如下。
$h({\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}})=h({\begin{pmatrix}2&0\\0&0\end{pmatrix}})=4\quad {\text{while}}\quad h({\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}})+h({\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}})=1+1=2$

建议所有读者练习此题。

问题 3

证明这两个映射是同态。

$d/dx:{\mathcal {P}}_{3}\to {\mathcal {P}}_{2}$ 由 $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}$ 映射到 $a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}$
$\int :{\mathcal {P}}_{2}\to {\mathcal {P}}_{3}$ 由 $b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}$ 映射到 $b_{0}x+(b_{1}/2)x^{2}+(b_{2}/3)x^{3}$

这些映射互为逆映射吗？

答案

检验每个映射是否是同态是例行公事。以下是关于微分映射的检验。

{\frac {d}{dx}}(r\cdot (a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3})+s\cdot (b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+b_{3}x^{3}))

{\begin{array}{rl}&={\frac {d}{dx}}((ra_{0}+sb_{0})+(ra_{1}+sb_{1})x+(ra_{2}+sb_{2})x^{2}+(ra_{3}+sb_{3})x^{3})\\&=(ra_{1}+sb_{1})+2(ra_{2}+sb_{2})x+3(ra_{3}+sb_{3})x^{2}\\&=r\cdot (a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2})+s\cdot (b_{1}+2b_{2}x+3b_{3}x^{2})\\&=r\cdot {\frac {d}{dx}}(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3})+s\cdot {\frac {d}{dx}}(b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+b_{3}x^{3})\end{array}}

(另一种证明是简单地注意到，这是微分的一个属性，在微积分中很熟悉。)

这两个映射不是互逆映射，因为这种复合映射作用在域的这个元素上时，不作为恒等映射。

1\in {\mathcal {P}}_{3}\;{\stackrel {d/dx}{\longmapsto }}\;0\in {\mathcal {P}}_{2}\;{\stackrel {\int }{\longmapsto }}\;0\in {\mathcal {P}}_{3}

问题 4

从 $\mathbb {R} ^{3}$ 到 $xz$ 平面的（垂直）投影是同态吗？投影到 $yz$ 平面的？投影到 $x$ 轴？ $y$ 轴？ $z$ 轴？投影到原点？

答案

这些投影中的每一个都是同态。投影到 $xz$ 平面和 $yz$ 平面是这些映射。

{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x\\0\\z\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\y\\z\end{pmatrix}}

投影到 $x$ 轴， $y$ 轴和 $z$ 轴是这些映射。

{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x\\0\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\y\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\0\\z\end{pmatrix}}

投影到原点是这个映射。

{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}

验证每个映射都是同态是直接的。（最后一个，当然，是关于 $\mathbb {R} ^{3}$ 的零变换。）

问题 5

证明，虽然来自示例 1.3 的映射保留线性运算，但它们不是同构。

答案

第一个不是满射；例如，没有多项式可以被发送到常数多项式 $p(x)=1$ 。第二个不是单射；域中的这两个成员

{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}

被映射到陪域的同一个成员， $1\in \mathbb {R}$ .

问题 6

恒等映射是线性变换吗？

答案

是的；在任何空间 ${\text{id}}(c\cdot {\vec {v}}+d\cdot {\vec {w}})=c\cdot {\vec {v}}+d\cdot {\vec {w}}=c\cdot {\text{id}}({\vec {v}})+d\cdot {\text{id}}({\vec {w}})$ 。

建议所有读者练习此题。

问题 7

说一个函数是“线性的”与说它的图形是一条直线是不同的。

函数 $f_{1}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 由 $f_{1}(x)=2x-1$ 给出，其图形是一条直线。证明它不是线性函数。
函数 $f_{2}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ 由
${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto x+2y$
给出，其图形不是直线。证明它是一个线性函数。

答案

此映射不保留结构，因为 $f(1+1)=3$ ，而 $f(1)+f(1)=2$ .
检查是例行的。
${\begin{array}{rl}f(r_{1}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+r_{2}\cdot {\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}})&=f({\begin{pmatrix}r_{1}x_{1}+r_{2}x_{2}\\r_{1}y_{1}+r_{2}y_{2}\end{pmatrix}})\\&=(r_{1}x_{1}+r_{2}x_{2})+2(r_{1}y_{1}+r_{2}y_{2})\\&=r_{1}\cdot (x_{1}+2y_{1})+r_{2}\cdot (x_{2}+2y_{2})\\&=r_{1}\cdot f({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}})+r_{2}\cdot f({\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}})\end{array}}$

建议所有读者练习此题。

问题 8

线性函数的定义部分是它尊重加法。线性函数是否尊重减法？

答案

是的。当 $h:V\to W$ 为线性时， $h({\vec {u}}-{\vec {v}})=h({\vec {u}}+(-1)\cdot {\vec {v}})=h({\vec {u}})+(-1)\cdot h({\vec {v}})=h({\vec {u}})-h({\vec {v}})$ .

问题 9

假设 $h$ 是 $V$ 的线性变换，并且 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 是 $V$ 的基底。证明每个陈述。

如果对于每个基向量 $h({\vec {\beta }}_{i})={\vec {0}}$ ，那么 $h$ 是零映射。
如果每个基向量都满足 $h({\vec {\beta }}_{i})={\vec {\beta }}_{i}$ ，则 $h$ 是恒等映射。
如果存在一个标量 $r$ ，使得每个基向量都满足 $h({\vec {\beta }}_{i})=r\cdot {\vec {\beta }}_{i}$ ，则对于 $V$ 中的所有向量，都有 $h({\vec {v}})=r\cdot {\vec {v}}$ 。

答案

令 ${\vec {v}}\in V$ 关于该基表示为 ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ 。然后 $h({\vec {v}})=h(c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})=c_{1}h({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}h({\vec {\beta }}_{n})=c_{1}\cdot {\vec {0}}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {0}}={\vec {0}}$ 。
此论点与之前的论点类似。设 ${\vec {v}}\in V$ 在基底上的表示为 ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ 。那么 $h(c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})=c_{1}h({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}h({\vec {\beta }}_{n})=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}={\vec {v}}$ .
如上所述，只有 $c_{1}h({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}h({\vec {\beta }}_{n})=c_{1}r{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}r{\vec {\beta }}_{n}=r(c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})=r{\vec {v}}$ .

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问题 10

考虑向量空间 $\mathbb {R} ^{+}$ ，其中向量加法和标量乘法不是从 $\mathbb {R}$ 继承的，而是如下定义的： $a+b$ 是 $a$ 和 $b$ 的乘积，而 $r\cdot a$ 是 $a$ 的 $r$ 次方。（这在之前的练习中已被证明是一个向量空间。）验证自然对数映射 $\ln :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$ 是这两个空间之间的同态。它是同构吗？

答案

它是同态，这是因为我们知道对数的熟悉法则，即乘积的对数等于对数的和 $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$ ，以及幂的对数等于对数的倍数 $\ln(a^{r})=r\ln(a)$ 。此映射是同构，因为它具有反映射，即指数映射，因此它是一一对应，因此它是一个同构。

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问题 11

考虑这个对 $\mathbb {R} ^{2}$ 的变换。

{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x/2\\y/3\end{pmatrix}}

求这个椭圆在这个映射下的像。

\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,(x^{2}/4)+(y^{2}/9)=1\}

答案

其中 ${\hat {x}}=x/2$ 且 ${\hat {y}}=y/3$ ，像集为

\{{\begin{pmatrix}{\hat {x}}\\{\hat {y}}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,{\frac {\displaystyle (2{\hat {x}})^{2}}{\displaystyle 4}}+{\frac {\displaystyle (3{\hat {y}})^{2}}{\displaystyle 9}}=1\}=\{{\begin{pmatrix}{\hat {x}}\\{\hat {y}}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,{\hat {x}}^{2}+{\hat {y}}^{2}=1\}

在 ${\hat {x}}{\hat {y}}$ -平面上单位圆。

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问题 12

想象一根绳子绕地球赤道缠绕，使其紧密贴合（假设地球是一个球体）。将圆形向上抬起到离地面 6 英尺的恒定高度，需要增加多少绳子？

答案

周长函数 $r\mapsto 2\pi r$ 是线性的。因此我们有 $2\pi \cdot (r_{\text{earth}}+6)-2\pi \cdot (r_{\text{earth}})=12\pi$ 。观察到，将圆形从紧密缠绕在篮球上抬升到篮球上方 6 英尺所需要的额外绳子长度，与将圆形从紧密缠绕在地球上抬升到地球上方 6 英尺所需要的额外绳子长度相同。

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问题 13

验证此映射 $h:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$

{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\;\mapsto \;{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\-1\\-1\end{pmatrix}}=3x-y-z

是线性的。推广。

答案

验证它是否是线性的是例行的。

{\begin{array}{rl}h(c_{1}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+c_{2}\cdot {\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}})&=h({\begin{pmatrix}c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}\\c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}\\c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}\end{pmatrix}})\\&=3(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2})-(c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2})-(c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2})\\&=c_{1}\cdot (3x_{1}-y_{1}-z_{1})+c_{2}\cdot (3x_{2}-y_{2}-z_{2})\\&=c_{1}\cdot h({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}})+c_{2}\cdot h({\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}})\end{array}}

对任何固定的 ${\vec {k}}\in \mathbb {R} ^{3}$ ，映射 ${\vec {v}}\mapsto {\vec {v}}\cdot {\vec {k}}$ 是线性的。这个说法是正确的。它来自于我们之前见过的点积的性质： $({\vec {v}}+{\vec {u}})\cdot {\vec {k}}={\vec {v}}\cdot {\vec {k}}+{\vec {u}}\cdot {\vec {k}}$ 以及 $(r{\vec {v}})\cdot {\vec {k}}=r({\vec {v}}\cdot {\vec {k}})$ 。（对这个泛化的自然推论，即从 $\mathbb {R} ^{n}$ 到 $\mathbb {R}$ 的映射，其作用是将其参数与一个固定向量 ${\vec {k}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 进行点积，是线性的，也是正确的。）

问题 14

证明从 $\mathbb {R} ^{1}$ 到 $\mathbb {R} ^{1}$ 的任何同态都是通过乘以一个标量来实现的。得出结论， $\mathbb {R} ^{1}$ 的任何非平凡线性变换都是同构。对于 $\mathbb {R} ^{2}$ 的变换是否也是如此？ $\mathbb {R} ^{n}$ ?

答案

令 $h:\mathbb {R} ^{1}\to \mathbb {R} ^{1}$ 为线性映射。线性映射由其在基上的作用确定，因此固定 $\mathbb {R} ^{1}$ 的基 $\langle 1\rangle$ 。对于任何 $r\in \mathbb {R} ^{1}$ ，我们有 $h(r)=h(r\cdot 1)=r\cdot h(1)$ ，因此 $h$ 对任何参数 $r$ 的作用是将其乘以常数 $h(1)$ 。如果 $h(1)$ 不为零，则该映射是一个对应关系——其逆运算为除以 $h(1)$ ——因此， $\mathbb {R} ^{1}$ 的任何非平凡变换都是一个同构。

这个投影映射是一个例子，它表明，当 $n>1$ （包括 $n=2$ ）时，并非 $\mathbb {R} ^{n}$ 的所有变换都通过乘以常数来作用。

{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x_{1}\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}

问题 15

证明对于任何标量 $a_{1,1},\dots ,a_{m,n}$ ，此映射 $h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ 是一个同态。
${\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a_{1,1}x_{1}+\dots +a_{1,n}x_{n}\\\vdots \\a_{m,1}x_{1}+\cdots +a_{m,n}x_{n}\end{pmatrix}}$
证明对于每个 $i$ ，第 $i$ 阶导数算子 $d^{i}/dx^{i}$ 是 ${\mathcal {P}}_{n}$ 的线性变换。由此得出结论，对于任意标量 $c_{k},\ldots ,c_{0}$ ，该映射是该空间的线性变换。
$f\mapsto {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}f+c_{k-1}{\frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}f+\dots +c_{1}{\frac {d}{dx}}f+c_{0}f$

答案

其中 $c$ 和 $d$ 是标量，我们有这个。
${\begin{array}{rl}h(c\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}+d\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}})&=h({\begin{pmatrix}cx_{1}+dy_{1}\\\vdots \\cx_{n}+dy_{n}\end{pmatrix}})\\&={\begin{pmatrix}a_{1,1}(cx_{1}+dy_{1})+\dots +a_{1,n}(cx_{n}+dy_{n})\\\vdots \\a_{m,1}(cx_{1}+dy_{1})+\dots +a_{m,n}(cx_{n}+dy_{n})\end{pmatrix}}\\&=c\cdot {\begin{pmatrix}a_{1,1}x_{1}+\dots +a_{1,n}x_{n}\\\vdots \\a_{m,1}x_{1}+\dots +a_{m,n}x_{n}\end{pmatrix}}+d\cdot {\begin{pmatrix}a_{1,1}y_{1}+\dots +a_{1,n}y_{n}\\\vdots \\a_{m,1}y_{1}+\dots +a_{m,n}y_{n}\end{pmatrix}}\\&=c\cdot h({\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}})+d\cdot h({\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}})\end{array}}$
导数算子的每个幂 $i$ 都是线性的，因为这些规则来自我们熟悉的微积分。
${\frac {d^{i}}{dx^{i}}}(\,f(x)+g(x)\,)={\frac {d^{i}}{dx^{i}}}f(x)+{\frac {d^{i}}{dx^{i}}}g(x)\quad {\text{and}}\quad {\frac {d^{i}}{dx^{i}}}\,r\cdot f(x)=r\cdot {\frac {d^{i}}{dx^{i}}}f(x)$
因此，给定的映射是 ${\mathcal {P}}_{n}$ 的线性变换，因为线性映射的任何线性组合也是线性映射。

问题 16

引理 1.16 表明线性函数的和是线性的，线性函数的标量倍是线性的。同时证明线性函数的复合也是线性的。

答案

(这个论点已经出现过，作为同构是等价关系的证明的一部分。) 令 $f:U\to V$ 和 $g:V\to W$ 是线性的。对于任何 ${\vec {u}}_{1},{\vec {u}}_{2}\in U$ 和标量 $c_{1},c_{2}$ ，线性组合将被保留。

g\circ f(c_{1}{\vec {u}}_{1}+c_{2}{\vec {u}}_{2})=g(\,f(c_{1}{\vec {u}}_{1}+c_{2}{\vec {u}}_{2})\,)=g(\,c_{1}f({\vec {u}}_{1})+c_{2}f({\vec {u}}_{2})\,)

=c_{1}\cdot g(f({\vec {u}}_{1}))+c_{2}\cdot g(f({\vec {u}}_{2}))=c_{1}\cdot g\circ f({\vec {u}}_{1})+c_{2}\cdot g\circ f({\vec {u}}_{2})

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问题 17

当 $f:V\to W$ 是线性的，假设 $f({\vec {v}}_{1})={\vec {w}}_{1}$ ，…， $f({\vec {v}}_{n})={\vec {w}}_{n}$ ，对于来自 $W$ 的一些向量 ${\vec {w}}_{1}$ ，…， ${\vec {w}}_{n}$ 。

如果 ${\vec {w}}\,$ 的集合是线性无关的，那么 ${\vec {v}}\,$ 的集合也必须线性无关吗？
如果 ${\vec {v}}\,$ 的集合是线性无关的，那么 ${\vec {w}}\,$ 的集合也必须线性无关吗？
如果 ${\vec {w}}\,$ 的集合生成 $W$ ，那么 ${\vec {v}}\,$ 的集合必须生成 $V$ 吗？
如果 ${\vec {v}}\,$ 的集合生成 $V$ ，那么 ${\vec {w}}\,$ 的集合必须生成 $W$ 吗？

答案

是的。如果 ${\vec {v}}\,$ 的集合是线性相关的，那么 ${\vec {w}}\,$ 的集合不能是线性无关的，因为在域中任何非平凡关系 ${\vec {0}}_{V}=c_{1}{\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {v}}_{n}$ 都会在值域中产生非平凡关系 $f({\vec {0}}_{V})={\vec {0}}_{W}=f(c_{1}{\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {v}}_{n})=c_{1}f({\vec {v}}_{1})+\dots +c_{n}f({\vec {v}}_{n})=c_{1}{\vec {w}}+\dots +c_{n}{\vec {w}}_{n}$ 。
不一定是这样。例如，由
${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x+y\\x+y\end{pmatrix}}$
给出的 $\mathbb {R} ^{2}$ 变换将域中的线性无关集发送到线性相关的像。
$\{{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\}=\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\}\;\mapsto \;\{{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}\}=\{{\vec {w}}_{1},{\vec {w}}_{2}\}$
不一定是这样。一个例子是投影映射 $\pi :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$ 。
${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$
而这组集合不跨越定义域，但映射到跨越陪域的集合。
$\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\}{\stackrel {\pi }{\longmapsto }}\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\}$
不一定。例如，嵌入映射 $\iota :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ 将定义域的标准基 ${\mathcal {E}}_{2}$ 映射到一组不跨越陪域的集合。 (备注。 然而， ${\vec {w}}$ 的集合确实跨越了值域。证明很简单。)

习题 18

通过证明矩阵转置映射是线性的，来推广示例 1.15。定义域和陪域是什么？

答案

回顾一下， $M$ 的转置在第 $i$ 行和第 $j$ 列的元素是 $M$ 的第 $j$ 行和第 $i$ 列的元素 $m_{j,i}$ 。现在，检查是例行公事。

{\begin{array}{rl}{{[r\cdot {\begin{pmatrix}&\vdots \\\cdots &a_{i,j}&\cdots \\&\vdots \end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}&\vdots \\\cdots &b_{i,j}&\cdots \\&\vdots \end{pmatrix}}]}^{\rm {trans}}}&={{\begin{pmatrix}&\vdots \\\cdots &ra_{i,j}+sb_{i,j}&\cdots \\&\vdots \end{pmatrix}}^{\rm {trans}}}\\&={\begin{pmatrix}&\vdots \\\cdots &ra_{j,i}+sb_{j,i}&\cdots \\&\vdots \end{pmatrix}}\\&=r\cdot {\begin{pmatrix}&\vdots \\\cdots &a_{j,i}&\cdots \\&\vdots \end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}&\vdots \\\cdots &b_{j,i}&\cdots \\&\vdots \end{pmatrix}}\\&=r\cdot {{\begin{pmatrix}&\vdots \\\cdots &a_{j,i}&\cdots \\&\vdots \end{pmatrix}}^{\rm {trans}}}+s\cdot {{\begin{pmatrix}&\vdots \\\cdots &b_{j,i}&\cdots \\&\vdots \end{pmatrix}}^{\rm {trans}}}\end{array}}

定义域是 ${\mathcal {M}}_{m\!\times \!n}$ ，而陪域是 ${\mathcal {M}}_{n\!\times \!m}$ 。

问题 19

当 ${\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 时，连接它们的线段定义为集合 $\ell =\{t\cdot {\vec {u}}+(1-t)\cdot {\vec {v}}\,{\big |}\,t\in [0..1]\}$ 。证明在同态 $h$ 作用下， ${\vec {u}}$ 和 ${\vec {v}}$ 之间线段的像，是 $h({\vec {u}})$ 和 $h({\vec {v}})$ 之间的线段。
$\mathbb {R} ^{n}$ 的一个子集被称为凸集，如果对于该集合中的任意两点，连接它们的线段完全位于该集合中。（球体的内部是凸的，而球体的表面不是。）证明从 $\mathbb {R} ^{n}$ 到 $\mathbb {R} ^{m}$ 的线性映射保留了集合凸性的性质。

答案

对于任何同态 $h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ ，我们有
$h(\ell )=\{h(t\cdot {\vec {u}}+(1-t)\cdot {\vec {v}})\,{\big |}\,t\in [0..1]\}=\{t\cdot h({\vec {u}})+(1-t)\cdot h({\vec {v}})\,{\big |}\,t\in [0..1]\}$
即从 $h({\vec {u}})$ 到 $h({\vec {v}})$ 的线段。
我们需要证明如果定义域的一个子集是凸的，那么它的像，作为值域的一个子集，也是凸的。假设 $C\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 是凸的，并考虑它的像 $h(C)$ 。为了证明 $h(C)$ 是凸的，我们需要证明对于它的任意两个成员， ${\vec {d}}_{1}$ 和 ${\vec {d}}_{2}$ ，连接它们的线段
$\ell =\{t\cdot {\vec {d}}_{1}+(1-t)\cdot {\vec {d}}_{2}\,{\big |}\,t\in [0..1]\}$
是 $h(C)$ 的子集。固定该线段上的任何成员 ${\hat {t}}\cdot {\vec {d}}_{1}+(1-{\hat {t}})\cdot {\vec {d}}_{2}$ 。因为 $\ell$ 的端点在 $C$ 的像中， $C$ 中有成员映射到它们，例如 $h({\vec {c}}_{1})={\vec {d}}_{1}$ 和 $h({\vec {c}}_{2})={\vec {d}}_{2}$ 。现在，其中 ${\hat {t}}$ 是本段第一句话中固定的标量，观察到 $h({\hat {t}}\cdot {\vec {c}}_{1}+(1-{\hat {t}})\cdot {\vec {c}}_{2})={\hat {t}}\cdot h({\vec {c}}_{1})+(1-{\hat {t}})\cdot h({\vec {c}}_{2})={\hat {t}}\cdot {\vec {d}}_{1}+(1-{\hat {t}})\cdot {\vec {d}}_{2}$ 因此， $\ell$ 的任何成员都是 $h(C)$ 的成员，因此 $h(C)$ 是凸的。

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问题 20

令 $h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ 为同态。

证明在 $h$ 下， $\mathbb {R} ^{n}$ 中的一条直线，其像是在 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的一条（可能退化的）直线。
一个 $k$ 维线性曲面会发生什么？

答案

对于 ${\vec {v}}_{0},{\vec {v}}_{1}\in \mathbb {R} ^{n}$ ，经过 ${\vec {v}}_{0}$ 且方向为 ${\vec {v}}_{1}$ 的直线是集合 $\{{\vec {v}}_{0}+t\cdot {\vec {v}}_{1}\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}$ 。在 $h$ 映射下的图像 $\{h({\vec {v}}_{0}+t\cdot {\vec {v}}_{1})\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}=\{h({\vec {v}}_{0})+t\cdot h({\vec {v}}_{1})\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}$ 是经过 $h({\vec {v}}_{0})$ 且方向为 $h({\vec {v}}_{1})$ 的直线。如果 $h({\vec {v}}_{1})$ 是零向量，则这条直线是退化的。
在 $\mathbb {R} ^{n}$ 中，一个 $k$ 维线性表面映射到 $\mathbb {R} ^{m}$ 中的一个（可能是退化的） $k$ 维线性表面。证明过程与直线证明类似。

问题 21

证明同态限制到其定义域的子空间上仍为同态。

答案

假设 $h:V\to W$ 是一个同态，并假设 $S$ 是 $V$ 的一个子空间。考虑映射 ${\hat {h}}:S\to W$ ，其定义为 ${\hat {h}}({\vec {s}})=h({\vec {s}})$ 。（ ${\hat {h}}$ 与 $h$ 之间的唯一区别在于定义域。）则这个新映射是线性的： ${\hat {h}}(c_{1}\cdot {\vec {s}}_{1}+c_{2}\cdot {\vec {s}}_{2})=h(c_{1}{\vec {s}}_{1}+c_{2}{\vec {s}}_{2})=c_{1}h({\vec {s}}_{1})+c_{2}h({\vec {s}}_{2})=c_{1}\cdot {\hat {h}}({\vec {s}}_{1})+c_{2}\cdot {\hat {h}}({\vec {s}}_{2})$ .

问题 22

假设 $h:V\to W$ 是线性的。

证明该映射的 **值域** $\{h({\vec {v}})\,{\big |}\,{\vec {v}}\in V\}$ 是陪域 $W$ 的一个子空间。
证明这个映射的零空间 $\{{\vec {v}}\in V\,{\big |}\,h({\vec {v}})={\vec {0}}_{W}\}$ 是定义域 $V$ 的一个子空间。
证明如果 $U$ 是定义域 $V$ 的一个子空间，那么它的像 $\{h({\vec {u}})\,{\big |}\,{\vec {u}}\in U\}$ 是陪域 $W$ 的一个子空间。这推广了第一条。
推广第二条。

答案

这将在下一小节中作为引理出现。

值域是非空的，因为 $V$ 是非空的。为了完成证明，我们需要证明值域对线性组合封闭。值域向量的一个线性组合的形式如下，其中 ${\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{n}\in V$ ,
$c_{1}\cdot h({\vec {v}}_{1})+\dots +c_{n}\cdot h({\vec {v}}_{n})=h(c_{1}{\vec {v}}_{1})+\dots +h(c_{n}{\vec {v}}_{n})=h(c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {v}}_{n}),$
它本身也在值域中，因为 $c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {v}}_{n}$ 是定义域 $V$ 的一个元素。因此值域是一个子空间。
零空间是非空的，因为它包含 ${\vec {0}}_{V}$ ，因为 ${\vec {0}}_{V}$ 映射到 ${\vec {0}}_{W}$ 。它是关于线性组合封闭的，因为，在 ${\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{n}\in V$ 是逆映射集合 $\{{\vec {v}}\in V\,{\big |}\,h({\vec {v}})={\vec {0}}_{W}\}$ 的元素时，对于 $c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {R}$
${\vec {0}}_{W}=c_{1}\cdot h({\vec {v}}_{1})+\dots +c_{n}\cdot h({\vec {v}}_{n})=h(c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {v}}_{n})$
因此 $c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {v}}_{n}$ 也在 ${\vec {0}}_{W}$ 的逆映射中。
这个 $U$ 的图像是非空的，因为 $U$ 是非空的。对于组合的封闭性，在 ${\vec {u}}_{1},\ldots ,{\vec {u}}_{n}\in U$ ，
$c_{1}\cdot h({\vec {u}}_{1})+\dots +c_{n}\cdot h({\vec {u}}_{n})=h(c_{1}\cdot {\vec {u}}_{1})+\dots +h(c_{n}\cdot {\vec {u}}_{n})=h(c_{1}\cdot {\vec {u}}_{1}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {u}}_{n})$
本身在 $h(U)$ 中，因为 $c_{1}\cdot {\vec {u}}_{1}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {u}}_{n}$ 在 $U$ 中。因此，这组是一个子空间。
自然推广是，一个子空间的逆像也是一个子空间。假设 $X$ 是 $W$ 的子空间。注意 ${\vec {0}}_{W}\in X$ ，所以集合 $\{{\vec {v}}\in V\,{\big |}\,h({\vec {v}})\in X\}$ 不为空。为了证明这个集合在组合下是封闭的，令 ${\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{n}$ 是 $V$ 的元素，使得 $h({\vec {v}}_{1})={\vec {x}}_{1}$ ，…， $h({\vec {v}}_{n})={\vec {x}}_{n}$ ，并注意
$h(c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {v}}_{n})=c_{1}\cdot h({\vec {v}}_{1})+\dots +c_{n}\cdot h({\vec {v}}_{n})=c_{1}\cdot {\vec {x}}_{1}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {x}}_{n}$
因此， $h^{-1}(X)$ 中元素的线性组合也属于 $h^{-1}(X)$ 。

问题 23

考虑向量空间到自身的所有同构映射的集合。这个集合是否是空间 $\mathop {\mathcal {L}} (V,V)$ 的子空间，其中 $\mathop {\mathcal {L}} (V,V)$ 表示该空间到自身的同态映射？

答案

不是；同构映射的集合不包含零映射（除非该空间是平凡空间）。

问题 24

定理 1.9 是否需要 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 是一个基？也就是说，如果我们去掉 ${\vec {\beta }}$ 集合线性无关或张成定义域的条件，我们仍然可以得到一个定义良好且唯一的同态映射吗？

答案

如果 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 没有张成该空间，那么该映射就不一定是唯一的。例如，如果我们试图通过仅指定 ${\vec {e}}_{1}$ 被映射到自身来定义 $\mathbb {R} ^{2}$ 到自身的映射，那么存在多个同态映射；恒等映射和投影到第一个分量的映射都满足这个条件。

如果我们放弃 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 线性无关的条件，那么我们可能会遇到不一致的规范（即，可能不存在这样的映射）。例如，如果我们考虑 $\langle {\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{1},2{\vec {e}}_{1}\rangle$ ，并尝试定义一个从 $\mathbb {R} ^{2}$ 到自身的映射，该映射将 ${\vec {e}}_{2}$ 映射到自身，并将 ${\vec {e}}_{1}$ 和 $2{\vec {e}}_{1}$ 都映射到 ${\vec {e}}_{1}$ 。没有同态可以满足这三个条件。

问题 25

令 $V$ 为一个向量空间，并假设映射 $f_{1},f_{2}:V\to \mathbb {R} ^{1}$ 是线性的。

定义一个映射 $F:V\to \mathbb {R} ^{2}$ ，其分量函数是给定的线性函数。
${\vec {v}}\mapsto {\begin{pmatrix}f_{1}({\vec {v}})\\f_{2}({\vec {v}})\end{pmatrix}}$
证明 $F$ 是线性的。
反之是否成立——任何从 $V$ 到 $\mathbb {R} ^{2}$ 的线性映射都是由两个到 $\mathbb {R} ^{1}$ 的线性分量映射组成的吗？
推广一下。

答案

简而言之，线性检查就是这样。
$F(r_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+r_{2}\cdot {\vec {v}}_{2})={\begin{pmatrix}f_{1}(r_{1}{\vec {v}}_{1}+r_{2}{\vec {v}}_{2})\\f_{2}(r_{1}{\vec {v}}_{1}+r_{2}{\vec {v}}_{2})\end{pmatrix}}=r_{1}{\begin{pmatrix}f_{1}({\vec {v}}_{1})\\f_{2}({\vec {v}}_{1})\end{pmatrix}}+r_{2}{\begin{pmatrix}f_{1}({\vec {v}}_{2})\\f_{2}({\vec {v}}_{2})\end{pmatrix}}=r_{1}\cdot F({\vec {v}}_{1})+r_{2}\cdot F({\vec {v}}_{2})$
是的。令 $\pi _{1}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{1}$ 和 $\pi _{2}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{1}$ 为投影
${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi _{1}}{\longmapsto }}x\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi _{2}}{\longmapsto }}y$
到两个轴上。现在，当 $f_{1}({\vec {v}})=\pi _{1}(F({\vec {v}}))$ 和 $f_{2}({\vec {v}})=\pi _{2}(F({\vec {v}}))$ ，我们得到了期望的组件函数。
$F({\vec {v}})={\begin{pmatrix}f_{1}({\vec {v}})\\f_{2}({\vec {v}})\end{pmatrix}}$
它们是线性的，因为它们是线性函数的复合，线性函数的复合是线性的这一事实已在同构是等价关系的证明中得到证明（或者，检查它们是线性的直接且简单）。
一般情况下，从向量空间 $V$ 到 $\mathbb {R} ^{n}$ 的映射是线性的当且仅当每个组件函数都是线性的。验证与前一项相同。