线性代数/行列式

行列式是一个函数，它将一个方阵关联到其定义域上的一个元素（通常是实数或复数）。行列式需要满足以下性质

• 它关于矩阵的行是线性的。

$\det {\begin{bmatrix}\ddots &\vdots &\ldots \\\lambda a_{1}+\mu b_{1}&\cdots &\lambda a_{n}+\mu b_{n}\\\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}=\lambda \det {\begin{bmatrix}\ddots &\vdots &\cdots \\a_{1}&\cdots &a_{n}\\\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}+\mu \det {\begin{bmatrix}\ddots &\vdots &\cdots \\b_{1}&\cdots &b_{n}\\\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}$

• 如果矩阵有两行相等，则它的行列式为零。
• 单位矩阵的行列式为1。

可以证明$\det A=\det A^{T}$，使得行列式关于行的定义等于关于列的定义。

性质

• 行列式为零当且仅当行线性相关。
• 交换两行会改变行列式的符号

$\det {\begin{bmatrix}\cdots \\{\mbox{row A}}\\\cdots \\{\mbox{row B}}\\\cdots \end{bmatrix}}=-\det {\begin{bmatrix}\cdots \\{\mbox{row B}}\\\cdots \\{\mbox{row A}}\\\cdots \end{bmatrix}}$

• 行列式是一个乘法映射，其含义是

$\det(AB)=\det(A)\det(B)\,$ 对于所有n×n矩阵$A$和$B$。

这被比内-柯西公式推广到非方阵的乘积。

• 很容易看出$\det(rI_{n})=r^{n}\,$，因此

对于所有 $n$ × $n$ 矩阵 $A$ 和所有标量 $r$，都有$\det(rA)=\det(rI_{n}\cdot A)=r^{n}\det(A)\,$。

• 在交换环 R 上的矩阵可逆当且仅当它的行列式是 R 中的单位。特别是，如果 A 是在像实数或复数这样的域上的矩阵，则 A 可逆当且仅当 det(A) 不为零。在这种情况下，我们有

$\det(A^{-1})=\det(A)^{-1}.\,$

换句话说：Rⁿ 中的向量 v₁,...,v_n 形成一个基当且仅当 det(v₁,...,v_n) 不为零。

矩阵与其转置具有相同的行列式

$\det(A^{\top })=\det(A).\,$

复数矩阵及其共轭转置的行列式是共轭的

$\det(A^{*})=\det(A)^{*}.\,$

定理

存在性

使用拉普拉斯公式计算行列式

比内-柯西公式

$\det(AB)=\det A\cdot \det B$