线性代数/行列式存在/解

解

这些总结了本书中使用的$2$-和$3$-排列的符号。

${\begin{array}{c|cc}i&1&2\\\hline \phi _{1}(i)&1&2\\\phi _{2}(i)&2&1\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|ccc}i&1&2&3\\\hline \phi _{1}(i)&1&2&3\\\phi _{2}(i)&1&3&2\\\phi _{3}(i)&2&1&3\\\phi _{4}(i)&2&3&1\\\phi _{5}(i)&3&1&2\\\phi _{6}(i)&3&2&1\end{array}}$

问题 1

给出一般$2\!\times \!2$矩阵及其转置的排列展开式。

答案

这是$2\!\times \!2$矩阵行列式的排列展开式

${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad\cdot {\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}}+bc\cdot {\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}}$

以及其转置的行列式的排列展开式。

${\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}}=ad\cdot {\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}}+cb\cdot {\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}}$

与小节中描述的$3\!\times \!3$展开式一样，对应项的排列矩阵是转置的（尽管这一点被每个矩阵都是自身转置的事实所掩盖）。

建议所有读者做这道练习。

问题 2

这个问题也出现在前面的小节中。

1. 找到每个$2$-排列的逆。
2. 找到每个$3$-排列的逆。

答案

这些都很容易检查。

1. 排列	$\phi _{1}$	$\phi _{2}$
   逆	$\phi _{1}$	$\phi _{2}$

2. 排列	$\phi _{1}$	$\phi _{2}$	$\phi _{3}$	$\phi _{4}$	$\phi _{5}$	$\phi _{6}$
   逆	$\phi _{1}$	$\phi _{2}$	$\phi _{3}$	$\phi _{5}$	$\phi _{4}$	$\phi _{6}$

建议所有读者做这道练习。

问题 3

1. 找到每个$2$-排列的符号。
2. 找到每个$3$-排列的符号。

答案

1. $\operatorname {sgn}(\phi _{1})=+1$, $\operatorname {sgn}(\phi _{2})=-1$
2. $\operatorname {sgn}(\phi _{1})=+1$, $\operatorname {sgn}(\phi _{2})=-1$, $\operatorname {sgn}(\phi _{3})=-1$, $\operatorname {sgn}(\phi _{4})=+1$, $\operatorname {sgn}(\phi _{5})=+1$, $\operatorname {sgn}(\phi _{6})=-1$

问题 4

n-排列$\phi =\langle n,n-1,\dots ,2,1\rangle$的符号是什么？(Strang 1980)

答案

模式是这样的。

${\begin{array}{c|ccccccc}i&1&2&3&4&5&6&\ldots \\\hline \operatorname {sgn}(\phi _{i})&+1&-1&-1&+1&+1&-1&\ldots \end{array}}$

因此，为了找到$\phi _{n!}$ 的符号，我们将 $n!-1$ 减 1，然后查看其除以 4 的余数。如果余数是 $1$ 或 $2$，则符号是 $-1$，否则符号是 $+1$。对于 $n>4$，数字 $n!$ 可以被 4 整除，所以 $n!-1$ 除以 4 的余数是 $-1$（更确切地说，余数为 $3$），因此符号为 $+1$。 $n=1$ 的符号是 $+1$，$n=2$ 的符号是 $-1$，而 $n=3$ 的符号是 $-1$。

问题 5

证明以下几点。

1. 每个排列都有一个逆排列。
2. $\operatorname {sgn}(\phi ^{-1})=\operatorname {sgn}(\phi )$
3. 每个排列都是另一个排列的逆排列。

答案

1. 排列可以看作是一一映射和满射映射 $\phi :\{1,\ldots ,n\}\to \{1,\ldots ,n\}$。任何一一映射和满射映射都有一个逆映射。
2. 如果从 $P_{\phi }$ 到单位排列总是需要奇数次交换，那么从单位排列到 $P_{\phi }$ 也总是需要奇数次交换（任何交换都是可逆的）。
3. 这是第一个问题。

问题 6

证明置换逆矩阵是置换矩阵的转置$P_{\phi ^{-1}}={{P_{\phi }}^{\rm {trans}}}$，对于任何置换$\phi$。

答案

如果$\phi (i)=j$ 那么$\phi ^{-1}(j)=i$。该结果现在遵循以下观察结果：$P_{\phi }$ 在条目$i,j$ 中有$1$ 当且仅当$\phi (i)=j$，并且$P_{\phi ^{-1}}$ 在条目$j,i$ 中有$1$ 当且仅当$\phi ^{-1}(j)=i$，

建议所有读者做这道练习。

问题 7

证明具有$m$ 个逆序的置换矩阵可以通过$m$ 步行交换行变为单位矩阵。将此与 推论 4.6 进行对比。

答案

这并不意味着$m$ 是生成单位矩阵所需的最少交换次数，也不意味着$m$ 是最多次数。相反，它表明存在一种方法，可以通过恰好$m$ 步交换行。

设$\iota _{j}$ 是第一行，相对于之前的一行发生逆序，设$\iota _{k}$ 是给出该逆序的第一行。我们有此行区间。

${\begin{pmatrix}\vdots \\\iota _{k}\\\iota _{r_{1}}\\\vdots \\\iota _{r_{s}}\\\iota _{j}\\\vdots \end{pmatrix}}\qquad j<k<r_{1}<\dots <r_{s}$

交换。

${\begin{pmatrix}\vdots \\\iota _{j}\\\iota _{r_{1}}\\\vdots \\\iota _{r_{s}}\\\iota _{k}\\\vdots \end{pmatrix}}$

第二个矩阵比第一个矩阵少一个逆序对，因为区间 ($s$ vs. $s+1$) 中的逆序对少了一个，而涉及区间之外行的逆序对不受影响。

以这种方式继续，在每一步中，每次行交换都减少一个逆序对。当没有剩余的逆序对时，结果就是单位矩阵。

与 推论 4.6 的对比在于，本练习的陈述是一个“存在”语句：存在一种方法可以在恰好 $m$ 步中交换到单位矩阵。但是，该推论是一个“对所有”语句：对于所有交换到单位矩阵的方式，奇偶性（偶数或奇数）是相同的。

建议所有读者做这道练习。

问题 8

对于任何排列 $\phi$，令 $g(\phi )$ 是以这种方式定义的整数。

$g(\phi )=\prod _{i<j}[\phi (j)-\phi (i)]$

(这是所有指标 $i$ 和 $j$ 且 $i<j$ 的给定形式的项的乘积。)

1. 计算所有 $2$-排列上的 $g$ 的值。
2. 计算所有 $3$-排列上的 $g$ 的值。
3. 证明这一点。

   $\operatorname {sgn}(\phi )={\frac {g(\phi )}{|g(\phi )|}}$

许多作者将此公式作为符号函数的定义。

答案

1. 首先，$g(\phi _{1})$ 是单个因子 $2-1$ 的乘积，因此 $g(\phi _{1})=1$。其次，$g(\phi _{2})$ 是单个因子 $1-2$ 的乘积，因此 $g(\phi _{2})=-1$。
2. ${\begin{array}{r|cccccc}{\text{permutation }}\phi &\phi _{1}&\phi _{2}&\phi _{3}&\phi _{4}&\phi _{5}&\phi _{6}\\\hline g(\phi )&2&-2&-2&2&2&-2\end{array}}$
3. 请注意，$\phi (j)-\phi (i)$ 为负当且仅当 $\iota _{\phi (j)}$ 和 $\iota _{\phi (i)}$ 处于它们通常顺序的反转中。

参考资料

• Strang, Gilbert (1980), Linear Algebra and its Applications (2nd ed.), Hartcourt Brace Javanovich