线性代数/直和

令V为向量空间，令H₁，H₂，H₃，…，H_n都是V的子空间。当满足以下条件时，V被定义为H₁，H₂，H₃，…，H_n的直和：

1. 对于V中的每一个x，都存在H_n中的x_n，使得
   
   $x=\sum _{i=1}^{n}x_{n}$
2. 当x_n和y_n都在H_n中时
   
   $\sum _{i=1}^{n}x_{n}=\sum _{i=1}^{n}y_{n}$
   
   意味着x_n=y_n。

第二个条件可以很容易地被证明等同于以下陈述：

当x_n是H_n中的元素时，则

$x=\sum _{i=1}^{n}x_{n}=0$

意味着所有x_n也等于0。

由于第二个条件，直和中涉及的任意两个子空间的交集是单元素{0}，其中0是零向量。这意味着所有n维空间都是n个一维子空间的直和。

定理

如果V是一个向量空间，那么对于任何子空间H，都存在一个子空间G，使得V是H和G的直和。

证明

令{e₁，e₂，…，e_k}是H的基。它可以扩展为V的基，例如，{e₁，e₂，…，e_n}。那么由{e_k+1，e_k+2，…，e_n}所生成的子空间G使得V是H和G的直和。

一般和

给定一个向量空间V，以及H₁，H₂，H₃，…，H_n都是V的子空间，那么当V的所有元素都可以表示为H₁，H₂，H₃，…，H_n中的元素之和时，V是H₁，H₂，H₃，…，H_n的和。

练习

1. 证明第二个条件等同于以下陈述
   
   当x_n是H_n中的元素时，则
   
   $x=\sum _{i=1}^{n}x_{n}=0$
2. 证明直和中涉及的任意两个子空间的交集是单元素{0}，其中0是零向量。