线性代数/一般 = 特解 + 齐次解/解

解

此练习推荐给所有读者。

问题 1

解每个系统。使用向量表示解集。确定特解和齐次系统的解集。

1. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}3x&+&6y&=&18\\x&+&2y&=&6\end{array}}$
2. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&1\\x&-&y&=&-1\end{array}}$
3. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}x_{1}&&&+&x_{3}&=&4\\x_{1}&-&x_{2}&+&2x_{3}&=&5\\4x_{1}&-&x_{2}&+&5x_{3}&=&17\end{array}}$
4. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}2a&+&b&-&c&=&2\\2a&&&+&c&=&3\\a&-&b&&&=&0\end{array}}$
5. ${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&2y&-&z&&&=&3\\2x&+&y&&&+&w&=&4\\x&-&y&+&z&+&w&=&1\end{array}}$
6. ${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&&&+&z&+&w&=&4\\2x&+&y&&&-&w&=&2\\3x&+&y&+&z&&&=&7\end{array}}$

答案

对于这些算术，请参见上一小节的答案。

1. 解集为

   $\{{\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}}y\,{\big |}\,y\in \mathbb {R} \}.$

   这里，特解和相关齐次系统的解集为

   ${\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \{{\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}}y\,{\big |}\,y\in \mathbb {R} \}.$

2. 解集为

   $\{{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\}.$

   特殊解和关联齐次系统的解集是

   ${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \{{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\}$

3. 解集为

   $\{{\begin{pmatrix}4\\-1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}}x_{3}\,{\big |}\,x_{3}\in \mathbb {R} \}.$

   特殊解和关联齐次系统的解集是

   ${\begin{pmatrix}4\\-1\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \{{\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}}x_{3}\,{\big |}\,x_{3}\in \mathbb {R} \}.$

4. 解集是单元素集

   $\{{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\}.$

   特殊解和关联齐次系统的解集是

   ${\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}t\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}.$

5. 解集为

   $\{{\begin{pmatrix}5/3\\2/3\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1/3\\2/3\\1\\0\end{pmatrix}}z+{\begin{pmatrix}-2/3\\1/3\\0\\1\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,z,w\in \mathbb {R} \}.$

   特殊解和关联齐次系统的解集是

   ${\begin{pmatrix}5/3\\2/3\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \{{\begin{pmatrix}-1/3\\2/3\\1\\0\end{pmatrix}}z+{\begin{pmatrix}-2/3\\1/3\\0\\1\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,z,w\in \mathbb {R} \}.$

6. 该系统的解集为空。因此，没有特定的解。相关齐次系统的解集为

   $\{{\begin{pmatrix}-1\\2\\1\\0\end{pmatrix}}z+{\begin{pmatrix}-1\\3\\0\\1\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,z,w\in \mathbb {R} \}.$

问题 2

求解每个系统，并以向量表示法给出解集。识别特解和齐次系统的解。

1. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&+&y&-&z&=&1\\4x&-&y&&&=&3\end{array}}$
2. ${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&&&-&z&&&=&1\\&&y&+&2z&-&w&=&3\\x&+&2y&+&3z&-&w&=&7\end{array}}$
3. ${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&+&z&&&=&0\\&&y&&&+&w&=&0\\3x&-&2y&+&3z&+&w&=&0\\&&-y&&&-&w&=&0\end{array}}$
4. ${\begin{array}{*{5}{rc}r}a&+&2b&+&3c&+&d&-&e&=&1\\3a&-&b&+&c&+&d&+&e&=&3\end{array}}$

答案

前面小节的答案显示了行操作。

1. 解集为

   $\{{\begin{pmatrix}2/3\\-1/3\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1/6\\2/3\\1\end{pmatrix}}z\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \}.$

   特殊解和关联齐次系统的解集是

   ${\begin{pmatrix}2/3\\-1/3\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \{{\begin{pmatrix}1/6\\2/3\\1\end{pmatrix}}z\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \}.$

2. 解集为

   $\{{\begin{pmatrix}1\\3\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}}z\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \}.$

   特殊解和关联齐次系统的解集是

   ${\begin{pmatrix}1\\3\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \{{\begin{pmatrix}1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}}z\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \}.$

3. 解集为

   $\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}z+{\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\\1\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,z,w\in \mathbb {R} \}.$

   特殊解和关联齐次系统的解集是

   ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \{{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}z+{\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\\1\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,z,w\in \mathbb {R} \}.$

4. 解集为

   $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-5/7\\-8/7\\1\\0\\0\end{pmatrix}}c+{\begin{pmatrix}-3/7\\-2/7\\0\\1\\0\end{pmatrix}}d+{\begin{pmatrix}-1/7\\4/7\\0\\0\\1\end{pmatrix}}e\,{\big |}\,c,d,e\in \mathbb {R} \}.$

   特殊解和关联齐次系统的解集是

   ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \{{\begin{pmatrix}-5/7\\-8/7\\1\\0\\0\end{pmatrix}}c+{\begin{pmatrix}-3/7\\-2/7\\0\\1\\0\end{pmatrix}}d+{\begin{pmatrix}-1/7\\4/7\\0\\0\\1\end{pmatrix}}e\,{\big |}\,c,d,e\in \mathbb {R} \}.$

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问题 3

对于系统

${\begin{array}{*{4}{rc}r}2x&-&y&&&-&w&=&3\\&&y&+&z&+&2w&=&2\\x&-&2y&-&z&&&=&-1\end{array}}$

哪些可以作为某个通解的特解部分？

1. ${\begin{pmatrix}0\\-3\\5\\0\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2\\1\\1\\0\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}-1\\-4\\8\\-1\end{pmatrix}}$

答案

将它们代入，看看是否满足所有三个等式。

1. 不。
2. 是。
3. 是。

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问题 4

引理 3.8 指出，任何特解都可以用作 ${\vec {p}}$。如果可能，求解该系统的通解

${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&&&+&w&=&4\\2x&+&3y&-&z&&&=&0\\&&y&+&z&+&w&=&4\end{array}}$

使用给定的向量作为其特解。

1. ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\4\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}-5\\1\\-7\\10\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}2\\-1\\1\\1\end{pmatrix}}$

答案

对相关齐次系统使用高斯消元法得到

$\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&-1&0&1&0\\2&3&-1&0&0\\0&1&1&1&0\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&-1&0&1&0\\0&5&-1&-2&0\\0&1&1&1&0\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-(1/5)\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&-1&0&1&0\\0&5&-1&-2&0\\0&0&6/5&7/5&0\end{array}}\right)$

所以，这是齐次问题的解

$\{{\begin{pmatrix}-5/6\\1/6\\-7/6\\1\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,w\in \mathbb {R} \}.$

1. 该向量确实是一个特解，所以所求的通解是

   $\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\4\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-5/6\\1/6\\-7/6\\1\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,w\in \mathbb {R} \}.$

2. 该向量是一个特解，所以所求的通解是

   $\{{\begin{pmatrix}-5\\1\\-7\\10\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-5/6\\1/6\\-7/6\\1\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,w\in \mathbb {R} \}.$

3. 该向量不是方程组的解，因为它不满足第三个方程。不存在这样的通解。

问题 5

其中一个是奇异的，另一个是非奇异的。哪个是哪个？

1. ${\begin{pmatrix}1&3\\4&-12\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&3\\4&12\end{pmatrix}}$

答案

第一个是非奇异的，而第二个是奇异的。只需使用高斯消元法，然后查看梯形形式的结果在对角线上的每个条目是否是非零。

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问题 6

奇异还是非奇异？

1. ${\begin{pmatrix}1&2\\1&3\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&2\\-3&-6\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&2&1\\1&3&1\end{pmatrix}}$ (小心！)
4. ${\begin{pmatrix}1&2&1\\1&1&3\\3&4&7\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}2&2&1\\1&0&5\\-1&1&4\end{pmatrix}}$

答案

1. 非奇异

   ${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}\end{array}}$

   最终每行都包含一个主元。
2. 奇异

   ${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{3\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}}\end{array}}$

   最终第 2 行没有主元。
3. 都不是。矩阵必须是方阵才能应用这两个词。
4. 奇异。
5. 非奇异。

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问题 7

给定向量是否在给定集合生成的集合中？

1. ${\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}},$ $\{{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}}\}$
2. ${\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}},$ $\{{\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\}$
3. ${\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}},$ $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\3\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\2\\1\end{pmatrix}}\}$
4. ${\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}},$ $\{{\begin{pmatrix}2\\1\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\0\\0\\2\end{pmatrix}}\}$

答案

在每种情况下，我们必须判断向量是否是集合中向量的线性组合。

1. 是。解

   $c_{1}{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$

   与

   ${\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&1&2\\4&5&3\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{}]{-4\rho _{1}+\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&1&2\\0&1&-5\end{array}}\right)\end{array}}$

   得出结论，有 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 来得到这个组合。
2. 否。化简

   $\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}2&1&-1\\1&0&0\\0&1&1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}2&1&-1\\0&-1/2&1/2\\0&1&1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{2\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}2&1&-1\\0&-1/2&1/2\\0&0&2\end{array}}\right)$

   表明

   $c_{1}{\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}}$

   无解。
3. 是的。化简

   $\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&2&3&4&1\\0&1&3&2&3\\4&5&0&1&0\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-4\rho _{1}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&2&3&4&1\\0&1&3&2&3\\0&-3&-12&-15&-4\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{3\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&2&3&4&1\\0&1&3&2&3\\0&0&-3&-9&5\end{array}}\right)$

   表明有无穷多种方法

   $\{{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\\c_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-10\\8\\-5/3\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-9\\7\\-3\\1\end{pmatrix}}c_{4}\,{\big |}\,c_{4}\in \mathbb {R} \}$

   来写

   ${\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}3\\3\\0\end{pmatrix}}+c_{4}{\begin{pmatrix}4\\2\\1\end{pmatrix}}.$

4. 不，看看第三个分量。

问题 8

证明任何系数矩阵为非奇异矩阵的线性方程组都有解，且解是唯一的。

答案

因为系数矩阵是非奇异矩阵，所以高斯消元法最终得到一个阶梯形，其中每个变量都对应一个方程。回代可以得到一个唯一的解。

(另一个看待解唯一性的方法是注意到，根据定义，当系数矩阵为非奇异矩阵时，与之相关的齐次方程组有唯一解。由于通解是特解与每个齐次解之和，所以通解最多只有一个元素。)

问题 9

说实话，引理 3.7 的证明中还有一个棘手的点。如果不存在非“$0=0$" 方程怎么办？(此后就没有其他棘手的点。)

答案

在这种情况下，解集是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的全体，可以表示为所需形式

$\{c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+\cdots +c_{n}{\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {R} \}.$

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问题 10

证明如果 ${\vec {s}}$ 和 ${\vec {t}}$ 满足一个齐次方程组，那么这些向量也满足。

1. ${\vec {s}}+{\vec {t}}$
2. $3{\vec {s}}$
3. $k{\vec {s}}+m{\vec {t}}$ 对于 $k,m\in \mathbb {R}$

"这三个结果表明，如果一个齐次方程组有一个解，那么它就有很多解——任何一个解的倍数都是另一个解，任何解的和也是一个解——所以没有齐次方程组恰好只有一个解。" 这种说法错在哪里？

答案

假设 ${\vec {s}},{\vec {t}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 并写出

${\vec {s}}={\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}\quad {\mbox{and}}\quad {\vec {t}}={\begin{pmatrix}t_{1}\\\vdots \\t_{n}\end{pmatrix}}.$

同时令 $a_{i,1}x_{1}+\cdots +a_{i,n}x_{n}=0$ 是齐次线性方程组中的第 $i$ 个方程。

1. 验证很简单

   ${\begin{array}{rcl}a_{i,1}(s_{1}+t_{1})+\cdots +a_{i,n}(s_{n}+t_{n})&=&(a_{i,1}s_{1}+\cdots +a_{i,n}s_{n})+(a_{i,1}t_{1}+\cdots +a_{i,n}t_{n})\\&=&0+0.\end{array}}$

2. 这个类似

   $a_{i,1}(3s_{1})+\cdots +a_{i,n}(3s_{n})=3(a_{i,1}s_{1}+\cdots +a_{i,n}s_{n})=3\cdot 0=0.$

3. 这个也不难

   ${\begin{array}{rcl}a_{i,1}(ks_{1}+mt_{1})+\cdots +a_{i,n}(ks_{n}+mt_{n})&=&k(a_{i,1}s_{1}+\cdots +a_{i,n}s_{n})+m(a_{i,1}t_{1}+\cdots +a_{i,n}t_{n})\\&=&k\cdot 0+m\cdot 0.\end{array}}$

该论证的错误在于，零向量的任何线性组合仍然是零向量。

问题 11

证明如果一个只有有理系数和常数的方程组有解，那么它至少有一个全有理解。它必须有无穷多解吗？

答案

首先证明。

高斯消元法只使用有理数（例如 $-(m/n)\rho _{i}+\rho _{j}$）。因此，解集可以用只有有理数作为每个向量分量的形式表示。现在，特解都是有理数。

当且仅当相关的齐次线性方程组有无穷多（实向量）解时，才有无穷多（有理向量）解。这是因为将任何参数设置为有理数将生成一个全有理解。