线性代数/齐次线性方程组

齐次线性方程组是指形如以下的线性方程组：

$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+\ldots +a_{1n}x_{n}=0$
$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+\ldots +a_{2n}x_{n}=0$
$a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+\ldots +a_{3n}x_{n}=0$
$\vdots$
$a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+a_{m3}x_{3}+\ldots +a_{mn}x_{n}=0$

当所有 x_n 都等于 0 时，称为平凡解。

考虑系数矩阵

$A=\left({\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{matrix}}\right)$

A 的列向量线性组合，其和等于 0 向量，是该齐次线性方程组的一个解。当 A 的列向量线性相关时，会存在非平凡解，即并非所有 x_n 都等于 0 的解。这种情况发生在 A 的秩小于列向量数量时。然而，如果秩等于列向量数量，则所有列向量都线性无关，此时唯一的解就是平凡解。