线性代数/内积空间

回顾一下你在向量研究中，我们研究了一个称为点积的操作，如果我们在Rⁿ中拥有两个向量，我们只需将它们的成分相乘并加起来。有了点积，就可以引入重要的新概念，例如长度和角度。向量的长度，$\mathbf {a}$，就是 $||\mathbf {a} ||={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}$。两个向量之间的角度，$\mathbf {a}$ 和 $\mathbf {b}$，与点积的关系如下

$\cos {\theta }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{||\mathbf {a} ||||\mathbf {b} ||}}$

事实证明，点积的几个属性足以在除Rⁿ以外的其他向量空间中定义类似的概念，例如$m\times n$ 矩阵或多项式空间。在这些其他空间中取代点积的更一般运算称为“内积”。

内积

假设我们有两个向量

$\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}},\mathbf {b} ={\begin{pmatrix}6\\3\\0\end{pmatrix}}$

如果我们想要取它们的点积，我们会按如下方式进行

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=(2)(6)+(1)(3)+(4)(0)=15$

因为在这种情况下乘法是可交换的，所以我们有a·b = b · a。

但随后，我们观察到

$\mathbf {v} \cdot (\alpha \mathbf {a} +\beta \mathbf {b} )=\alpha \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} +\beta \mathbf {v} \cdot \mathbf {b}$

就像一般的代数等式v(aA+bB)=avA+bvB。对于一般的点积，这是成立的，因为例如，对于R³，我们可以将两边展开得到

${\begin{matrix}(\alpha v_{1}a_{1}+\beta v_{1}b_{1})+(\alpha v_{2}a_{2}+\beta v_{2}b_{2})+(\alpha v_{2}a_{2}+\beta v_{2}b_{2})=\\(\alpha v_{1}a_{1}+\alpha v_{2}a_{2}+\alpha v_{3}a_{3})+(\beta v_{1}b_{1}+\beta v_{2}b_{2}+\beta v_{3}+b_{3})\end{matrix}}$

最后，我们可以注意到 * **v** * · * **v** * 始终为正数或大于零 - 检查 **R** ³ 得到：

$\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}$

由于实数平方始终为正数，因此它永远不会小于零。注意，当且仅当 * **v** * = **0** 时，* **v** * · * **v** * = 0 。

为了概括这种行为，我们需要保留这三种行为。然后我们可以继续定义点积的推广，我们称之为 * 内积 *。向量空间 * V* 中两个向量的内积，写作 < * **x** *, * **y** >，是一个将 * V* × * V* 映射到 **R** 的函数，它满足以下性质：

• < * **x** *, * **y** > = < * **y** *, * **x** >
• < * **v** *, α* **a** * + β* **b** > = α < * **v** *, * **a** > + β < * **v** *, * **b** >
• < * **a** *, * **a** > ≥ 0，< * **a** *, * **a** > = 0 当且仅当 * **a** * = **0**。

向量空间 * V* 和某个内积一起被称为 * 内积空间 *。